¿Cuándo los anillos de polinomios (multivariantes) dejan de ser anillos de Prüfer?

Question

En lo que sigue, el anillo se define como un anillo conmutativo con unidad ( $1$ ).

Definición: Tal vez generalizando demasiado a partir de (12) en esta respuesta de Math.SE llamar a cualquier timbre $R$ a Anillo Prüfer si, para todos los ideales distintos de cero $I,J,K$ de $R$ uno siempre tiene $I \cap J + I \cap K = I \cap (J+K)$ . (Es decir, la ley modular se cumple con igualdad sin hipótesis adicionales). $R$ no tiene por qué ser un dominio.

Pregunta: Dado un anillo $R$ ¿en qué condiciones $R[X,Y]$ ¿no será un anillo Prüfer? ¿Siempre? ¿O cuando $R$ ¿es un dominio integral?

Además, como pregunta secundaria menos importante, si $S$ no es un anillo de Prüfer, entonces ¿también es cierto que $S[Z]$ ¿no es un anillo Prüfer? Por ejemplo, si $R[X,Y]=:S$ no es un anillo de Prüfer, entonces ¿también $R[X,Y,Z]\cong (R[X,Y])[Z]$ ¿no es un anillo Prüfer? Entonces por inducción todos los anillos polinómicos multivariantes $R[X_1, \dots, X_n]$ con coeficientes en $R$ ¿no son anillos Prüfer? ( Pregunta relacionada )

Intento: Creo que tengo una prueba que funciona al menos siempre que $R$ es un dominio integral, aunque quizá funcione de forma más general. Tomemos $I= \langle X + Y \rangle$ , $J= \langle X \rangle$ , $K = \langle Y \rangle$ . Entonces el lado izquierdo es: $$\langle X + Y \rangle \cap \langle X \rangle + \langle X + Y \rangle \cap \langle Y \rangle = \langle (X + Y)X \rangle + \langle (X + Y)Y \rangle \,.$$ (Creo, ni siquiera estoy seguro de este paso.) Entonces el lado derecho sería: $$\langle X + Y \rangle \cap (\langle X \rangle + \langle Y \rangle) = \langle X + Y \rangle \cap \langle X , Y \rangle = \langle X + Y \rangle \,,$$ ya que claramente $\langle X + Y \rangle \subseteq \langle X, Y \rangle$ . Y entonces creo, pero no estoy seguro, independientemente de los coeficientes $R$ o al menos cuando $R$ es un dominio integral, se tiene que $$X+Y \not\in \langle (X + Y)X \rangle + \langle (X + Y)Y \rangle \quad \text{even though obviously} \quad X+Y \in \langle X + Y \rangle \,. $$

Así $\langle (X + Y)X \rangle + \langle (X + Y)Y \rangle \subsetneq \langle X + Y \rangle$ y $R[X,Y]$ ¿no es un anillo Prüfer?

Antecedentes: Un contraejemplo para el fallo de la ley modular dado ici son los tres ideales dados anteriormente en $\mathbb{Z}[X,Y]$ . Sin embargo, no pude averiguar cómo ese contraejemplo dependía de que el anillo de coeficientes fuera $\mathbb{Z}$ en lugar de $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ o cualquier otra cosa. Había pensado que el anillo de coeficiente siendo $\mathbb{Z}$ importaba de alguna manera porque $\mathbb{Z}[X]$ ( univariante polinomios) es un anillo "conocido" que no es un anillo de Prüfer en Wikipedia . Sin embargo, este otra respuesta en Math.SE no sólo da $\mathbb{Z}[X]$ como no ejemplo de anillo de Prüfer, sino también $\mathbb{Q}[X,Y]$ . Así que siento que no entiendo la "esencia" o la "gran idea" detrás de los contraejemplos en absoluto. ( Pregunta probablemente relacionada )

Answer 1

Los anillos que describe se conocen como Anillos aritméticos en la literatura del álgebra conmutativa.

Definición Un anillo $R$ se llama Aritmética si para todo $I, J, K$ sostiene $I \cap (J + K) = I \cap J + I \cap K$ es decir, sus ideales forman una red distributiva.

Los anillos aritméticos también se caracterizan por la propiedad de que son anillos localmente encadenados, es decir, los ideales de $R_\mathfrak{p}$ están totalmente ordenados para cualquier primo $\mathfrak{p}$ (esto se debe a Jensen, la prueba es muy corta y se puede ver ici ).

El término Anillo Prüfer se reserva para una clase de anillos que, en general, amplían la clase de los anillos aritméticos (aunque coinciden en el caso de los dominios). La definición habitual de anillo de Prüfer que se extiende a los anillos con divisores cero se debe a M. Griffin, y restringe la atención a los ideales regulares (es decir, los ideales que contienen un divisor distinto de cero). Te sugiero que le eches un vistazo a su artículo fundamental, Anillos de Prüfer con divisores cero . En particular, en el Teorema 13, encontrará que una posible definición es

Definición Un anillo $R$ se llama Prüfer si para cualesquiera ideales $I,J,K$ al menos uno de ellos es regular, se cumple que $I \cap (J + K) = I \cap J + I \cap K$

Con la terminología fuera del camino, vamos a ver su prueba de que $R[x,y]$ nunca es aritmética. ¡Es una buena prueba! Y funciona para cualquier anillo $R$ no sólo dominios. Vamos a llenar sus dos lagunas.

Verificaciones En el ring $R[x,y]$ lo siguiente es cierto
(1) $(x+y)\cap(x) = (x+y)x$
(2) $x + y \notin (x+y)(x,y)$

Prueba

(1) Sea $f \in (x+y) \cap (x)$ . Escriba a $f = xg = (x+y)h$ . Demostraremos que $x + y$ divide $g$ Por lo tanto $x(x+y)$ divide $f$ como desee. Consideremos la ecuación $xg = (x+y)h$ módulo del ideal $(y)$ . Obtenemos la equivalencia $xg \equiv xh$ mod $y$ y puesto que $x$ es un elemento regular de $R[x] = R[x,y]/(y)$ Esto implica $g \equiv h$ mod $y$ . Así, podemos escribir $g + yq = h$ para algunos $q \in R[x,y]$ . Sustituyendo esto en $xg = (x+y)h = (x+y)(g + yq)$ . Cancelación de la $xg$ de ambos lados se obtiene $yg + (x+y)yq = 0$ y puesto que $y$ es un elemento regular de $R[x,y]$ anulando el $y$ s da $g + (x+y)q = 0$ y ya está.

(2) Obsérvese que $x+y$ es un elemento regular de $R[x,y]$ En efecto, si $(x+y)f = 0$ entonces ordena los monomios de $f$ lexicográficamente con $x < y$ y observe que si $f_{ij}$ es el coeficiente del monomio más pequeño de $f$ entonces $f_{ij}$ es también el coeficiente del monomio más pequeño de $(x+y)f$ . Desde $x+y$ es regular en $R[x,y]$ tenemos que $x+y \in (x+y)(x,y)$ si $1 \in (x,y)$ . $\square$

Esto resuelve tu pregunta sobre cuándo los anillos de polinomios multivariantes son aritméticos: ¡Nunca! Sin embargo, a partir del final de tu post creo que merece la pena profundizar en el caso univariante, para que podamos tener alguna idea de por qué, por ejemplo $\mathbb{Z}[x]$ no puede ser aritmética sino $K[x]$ es aritmético para cualquier campo $K$ .

Punto principal Si $R[x]$ es Prüfer (en el sentido de Griffin), entonces $R$ es Von Neumann Regular.

Voy a hacer un poco de trampa (en el contexto de tu pregunta) y daré por supuesta la caracterización de que los ideales regulares finitamente generados son invertibles, y dejaré que tú produzcas una demostración directamente a partir de la propiedad aritmética si así lo deseas. Para ver la conexión entre la propiedad aritmética y los ideales regulares invertibles, usa el argumento de Jensen en combinación con el hecho de que los ideales regulares son invertibles si son localmente principales.

Prueba del punto principal : Lo que haremos es arreglar $a \in R$ y considerar el ideal $(a,x) \subseteq R[x]$ .

Desde $(a,x)$ es regular, es invertible, y obtenemos $(a,x)J = R[x]$ donde $J$ es un $R[x]$ -submódulo de $T(R[x])$ y $(a,x)J \subseteq R[x]$ .
Por lo tanto tenemos elementos $h_1, h_2$ de $T(R[x])$ tal que $ah_i \in R[x], xh_i \in R[x]$ y $ah_1 + xh_2 = 1$ .

Digamos que $ah_1 = f_a, xh_1 = f_x$ y $ah_2 = g_a, xh_2 = g_x$ . De las dos primeras ecuaciones se deduce que $a$ divide el coeficiente más bajo de $f_a$ ya que $af_x = xf_a$ y por lo tanto $af_{x1} = f_{a0}$ . De la tercera y la cuarta, vemos que $ag_x = xg_a$ de modo que $a$ aniquila el coeficiente más bajo de $g_x$ .

Ahora, tras la sustitución, nuestra relación $ah_1 + xh_2 = 1$ se convierte en $f_a + g_x = 1$ . Multiplicar por $a$ y examinando el coeficiente más bajo, tenemos entonces $a^2f_{x1} = a$ . Desde $a$ era arbitraria, hemos demostrado así que $R$ es Von Neumann Regular. $\square$

(Debo mencionar que esto también tiene su reverso: Los anillos polinómicos univariantes sobre anillos regulares de Von Neumann son $1$ -dimensionales semihereditarios de Bezout. Véase este papel de Gilmer para la parte semihereditaria, y buscar el papel de Gilmer y Shores, Anillos de semigrupos como anillos de Prüfer para la parte Bezout).

Dos corolarios inmediatos de esto son:

Si $R$ no es aritmética, entonces tampoco lo es $R[x]$ .

Prueba Basta con comprobar que los anillos regulares de Von Neumann son aritméticos. Refiriéndonos a la caracterización de Jensen más arriba, esto es obvio porque los VNR son localmente campos.

Y aunque ya ha zanjado este punto, ahora tenemos otra forma de ver que

Un anillo polinómico en más de una indeterminada nunca es Prüfer, y a fortiori nunca es aritmético.

Prueba Un argumento fácil por consideración de la dimensión de Krull. Los VNR son de dimensión cero, y añadir indeterminados aumenta estrictamente la dimensión.

La moraleja es que para los ideales de $R[x]$ para formar una red distributiva un problema tan grande que $R$ tiene que ser localmente un campo. En particular, si $\mathbb{Z}[x]$ fuera aritmética, entonces $\mathbb{Z}$ tendría que ser un campo; y si $\mathbb{Q}[x,y]$ fuera aritmética, entonces $\mathbb{Q}[x]$ ¡tendría que ser un campo!