Sea $f$ sea una función entera tal que $f(1)=2f(0)$ . Demostrar que $\forall\epsilon>0, \exists z\in\mathbb{C}$ tal que $|f(z)|<\epsilon$

Question

Me piden que lo demuestre:

Sea $f$ sea una función entera tal que $f(1)=2f(0)$ . Demostrar que $\forall\epsilon>0, \exists z\in\mathbb{C}$ tal que $|f(z)|<\epsilon$

Consideré una función $g(z)=f(z+1)-2f(z)$ que también es entero y tiene un cero en $z=0$ pero no estoy seguro de que esto me ayude a resolver el problema.

Answer 1

Sugerencia Supongamos por contradicción que esto no es cierto. Demuestre que $g(z)=\frac{1}{f(z)}$ es entera y acotada.

Answer 2

Estaba dando los últimos retoques a mi respuesta cuando N.S. publicó el post; nuestras pruebas son esencialmente las mismas, aunque yo he concretado algunos detalles. Quizá a alguien le resulte útil.

Si

$\forall \epsilon > 0 \exists z \in \Bbb C, \; \vert f(z) \vert < \epsilon \tag 1$

es no es cierto entonces

$\exists \epsilon > 0 \forall z \in \Bbb C, \; \vert f(z) \vert \ge \epsilon \tag 2$

es cierto .

Así

$g(z) = \dfrac{1}{f(z)} \tag 3$

es una función entera bien definida, y

$\forall z \in \Bbb C, \; \vert g(z) \vert = \dfrac{1}{\vert f(z) \vert} \le \dfrac{1}{\epsilon}; \tag 4$

así $g(z)$ es una función entera acotada, por tanto constante por el teorema de Liouville; por tanto $f(z)$ también debe ser constante; de hecho vía (1),

$\forall \epsilon > 0 \forall z \in \Bbb C, \; \vert f(z) \vert < \epsilon \Longrightarrow \forall z \in \Bbb C, \; f(z) = 0; \tag 5$

es decir, $f(z)$ es idénticamente cero.

La hipótesis $f(1) = 2f(0)$ no es necesario para obtener este resultado.

Answer 3

Si $f(0)=0$ el resultado es inmediato. Si $f(0)\ne 0$ tenemos que $f(1)\ne f(0)$ y así $f$ no es constante. Según el pequeño teorema de Picard, una función entera no constante toma todos los valores complejos, con una posible excepción. Incluso si esa posible excepción resulta ser cero, todos los demás valores complejos se alcanzan por $f$ y el resultado es el siguiente.