calculando la longitud del arco de una función

Question

La función es: $$f(x) =2\ln(4-x^2)$$ and the length of the arc is from $-1$ to $1$.

Así que yo sé que la fórmula para calcular la longitud del arco es $$\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2} dx$$ la derivada de la función $f(x)$ es, si estoy en lo correcto $$2\frac{d}{dg}\ln(g)\frac{d}{dx}(4-x^2)$$ with $g = (4-x^2)$. So $$f'(x)= -\cfrac{4x}{4-x^2}$$ y $$(f'(x))^2=\cfrac{16x^2}{(4-x^2)^2}$$ y la fórmula se convierte en: $$\int_{-1}^{1}\sqrt{1+\cfrac{16x^2}{(4-x^2)^2}}dx$$ el problema es cuando uso el $u$ sustitución de $$u=1+\cfrac{16x^2}{(4-x^2)^2}$$ Y yo quiero hacer nuevos límites para la integración de $i$ ha $2$ los mismos números (ambos son 2,77). No sé qué he hecho mal pero la respuesta debe ser $$4\ln(3)-2$$

Answer 1

Resulta que $$(\forall x\in[-1,1]):\sqrt{1+f'(x)^2}=\frac{4+x^2}{4-x^2}=\frac2{x+2}-\frac2{x-2}-1 y supongo que puedes tomarlo desde aquí.

Answer 2

La sustitución que está sugiriendo no ayudará a simplificar su problema.

PS

$$1+\frac{16x^2}{(4-x^2)^2} $$=\frac{(4-x^2)^2 + 16x^2}{(4-x^2)^2}

Esto ayudará a resolver.

A la pregunta que ha planteado, esto está sucediendo porque la función es par. Y si $$=\frac{(4+x^2)^2}{(4-x^2)^2}$ es una función par, entonces:

PS

Answer 3

Cuando usted hace una $u$ de sustitución, usted tiene que asegurarse de que $u$ es una función inyectiva sobre los límites de la integración. La forma en que usted ha definido su $u$, sin embargo, $u(-x)=u(x)$, por lo que no es inyectiva. Cuando usted sustituto $du$ en de $dx$, usted debe encontrar que $dx = \frac {du}{h'(x)}$, donde $h(x) = 1+\cfrac{16x^2}{(4-x^2)^2}$. Pero a $x=0$, $h'(0)=0$, haciendo de esta una integral impropia. Usted puede solucionar este problema mediante la división de la integral en un integrante de $-1$ a $0$ (estrictamente hablando, para ser riguroso, usted tiene que tomar la integral de $-1$ a $-\epsilon$ y tomar el límite cuando $\epsilon$ va a cero, pero usted puede conseguir lejos con fudging en ese punto), y otro integral de $0$ a $1$. $u$ entonces será inyectiva dentro de cada integrante. Y desde $u$ es simétrica, usted puede simplemente tomar una integral doble de la respuesta que obtenga.