Hay un álgebra de summable de la serie?

Question

Deje $D$ denotar un divergentes de la serie y vamos a $C$ denotar una serie convergente. Además, vamos a $s : \{ Series \} \to \{ numbers \}$ regular, lineal divergentes operador de la serie, que es de uno de estos operadores:

(los hipervínculos a los que se dirigirá a la página de la wiki de la correspondiente suma método, no de la persona que inventó el/la descubrió)

• Borel suma
• Abel suma
• Euler suma
• Césaro suma
• Lambert suma
• Ramanujan suma
• Sumar la serie por medio de la Analítica de continutation
• Algunos de Regularización método

Me pregunto si hay alguna manera significativa para responder a las siguientes preguntas (Asumiendo $D_1 , D_2$ son summable con $s$):

1. ¿Qué $s(D_1 + D_2)$ igual? Es siempre igual a $s(D_2 + D_1)$ ? ¿Cómo se relaciona a$s(D_1)$$s(D_2)$ ?
2. ¿Qué $s(D_1 \cdot D_2)$ igual? Es siempre igual a $s(D_2 \cdot D_1)$ ? ¿Cómo se relaciona a$s(D_1)$$s(D_2)$ ?
3. Qué sucede cuando se agrega convergente la serie en la mezcla? Y lo que si estamos suma de las combinaciones lineales de $n$ convergentes y $m$ divergentes de la serie?

Los resultados difieren para los distintos suma métodos mencionados anteriormente?

Answer 1

Para (1) y (3) pienso que la suma de todos los métodos mencionados son lineales suma de los métodos. Por lo $s(D_1+D_2)=s(D_1)+s(D_2)$, cuando se $s(D_1)$ $s(D_2)$ existen.

Para (2), $D_1\cdot D_2=D_2\cdot D_1$. Por eso, $s(D_1\cdot D_2)=s(D_2\cdot D_1)$, cuando existen.

Por otro lado, consideremos $D:=\{(-1)^n\}_{n=0}^{\infty}$, e $s$ a Cesaro límite.

A continuación,$s(D)=\lim_n\frac{\sum_{k=0}^{n}(-1)^k}{n}=0$, donde se $n$ en el numerador.

Pero $D^2=\{1\}_{n=0}^{\infty}$. A continuación, el Cesaro límite es $s(D^2)=\lim_n\frac{\sum_{k=0}^{n}1}{n}=\lim_n\frac{n+1}{n}=1$.

Por lo tanto, incluso cuando se $s(D_1)$ $s(D_2)$ existen, $s(D_1\cdot D_2)\neq s(D_1)s(D_2)$.

Así, por Cesaro suma, y por lo tanto para cualquier método de la sumación de la ampliación, el límite no es multiplicativo.

Answer 2

Este es un comentario para @ABC 's respuesta.
Me parece que tienen dificultades para entender las cosas correctamente, tal vez es demasiado tarde.

Aquí está una lista de

• r: la alternancia de la serie de unidades,
• b: las sumas parciales (=el uso de Cesaro-orden 0),
• c: las sumas parciales utilizando Cesaro-orden 1,
• d: y las plazas de $c$, (donde está centrado el cesaro-suma parcial hasta el $n$ se utiliza y , a continuación, cuadrado).
• e: las condiciones de cauchy-productos de $D_1 \cdot D_1$ hasta el índice n :$e_n=\sum_{k=0}^n d_k \cdot d_{n-k}$
• f: el Cesaro(orden 2)-parcial-sumas de e

Vamos a ver, que $d$ tiene un límite claro (el esperado: para cada $n$ el cuadrado de la suma parcial hasta el momento en $c$). Necesitamos usar la $c$ e no $b$ porque $b$ no es convergente y por lo tanto no tiene límite de lo cual se puede usar para la multiplicación. Igualmente esta con las entradas en f: la secuencia de sumas parciales de los términos en e ( que son todos los de Cauchy-productos) cuando transformada por el Cesaro-suma (orden 2) se aproxima al límite esperado.

Aquí está la tabla:

$\qquad \qquad$

(El efecto es aún más drastical si hacemos uso de Euler-suma en lugar de Cesaro-suma, porque es mucho más potente con este tipo de series.

Aquí está la tabla:

$\qquad \qquad$

)

Pero tal vez me lo perdí/incomprendido una idea, en su respuesta, era tarde en la noche...

Answer 3

Respuesta corta : no. Convergente la serie tiene la propiedad s(a+B) = s(A)+s(B)$ pero no hay multiplicación de la propiedad.

si $A_n=1/n$, $s(A) =\infty$ pero $A\cdot A$ es convergente.

No me fijé en los detalles en sus enlaces, pero lo que yo estoy diciendo aquí es bastante general. La multiplicación de la serie se siente extraño.