¿Por qué unidades cuadradas?

Question

Recientemente me preguntaron: "¿Por qué el área de un círculo es irracional?", a lo que respondí que no necesariamente era irracional, ya que por supuesto hay ciertos valores de $r$ que harían que $\pi r^2$ fuera racional. Ella procedió aclarando: "Pero el área de un cuadrado de lado $1$ es racional, sin embargo, el área de un círculo de radio $1$ no lo es. ¿Qué tiene de especial el cuadrado?"

Mi respuesta a esto fue, por supuesto, "Medimos el área en unidades cuadradas, por lo tanto, el área de un cuadrado unitario es una unidad cuadrada." Perfectamente satisfecho, me fui a casa. En el camino de regreso, sin embargo, me di cuenta de que esto no era satisfactorio. ¿Por qué debemos medir el área en unidades cuadradas? El área es una de esas cantidades que se puede escalar por cualquier constante, como $1 \over \pi$, y casi todas las propiedades se mantendrían. ¿Hay alguna razón fundamental por la que no decimos que el área de un cuadrado unitario es $1 \over \pi$ unidades circulares?

Esto me confundió aún más cuando noté que la frase $x^2$ se pronuncia como "x al cuadrado" es una consecuencia del uso del cuadrado unitario, no una justificación para ello. Si los antiguos griegos hubieran utilizado unidades circulares, sin duda pronunciaríamos $x^2$ como "x circulado"...

Busqué una justificación para usar el cuadrado unitario como la unidad base para el área, y por supuesto la más obvia es el cálculo. El Teorema Fundamental del Cálculo proporciona una definición fácil del área, gracias a las integrales. El área de un cuadrado unitario es simplemente:

$$\int_0^1 dx$$

Y como la integral es la antiderivada, es conveniente decir que el área de un cuadrado unitario es $1$.

Pero todavía no estoy seguro de que esto sea insatisfactorio, ya que la conexión intuitiva entre las integrales y el área se basa en el concepto de que el área de un rectángulo es $lw$. Si esto estuviera desfasado por un factor de $1 \over \pi$, la conexión entre las antiderivadas y las áreas sería ciertamente más complicada... pero muchas fórmulas matemáticas tienen $\pi$ o $1 \over \pi$ en ellas, y sería un exceso proclamarlas inelegantes.

Al final, ¿hay algo fundamental sobre el cuadrado unitario? ¿Por qué no un triángulo unitario o un círculo unitario? ¿O es simplemente porque los antiguos griegos lo hicieron de esa manera?

Answer 1

Rellenar áreas con círculos es un esfuerzo fútil, ya que siempre queda un espacio libre entre los discos vecinos. Además, hay una conexión directa entre las formas geométricas llamadas rectángulos, y la multiplicación, en la medida en que la propiedad conmutativa de esta se vuelve evidente cuando uno imagina una cuadrícula $m \times n$, que obviamente tiene la misma cantidad de elementos, luego la rota a un ángulo de $90^\circ$, transformándola en una cuadrícula $n \times m$, que obviamente tiene la misma cantidad de elementos que antes de ser rotada, ya que sigue siendo la misma cuadrícula. Por lo tanto, hay ventajas tanto prácticas como teóricas en el uso de formas rectangulares.

Answer 2

Si quieres saber el área de algo en términos de cuántas copias de alguna forma estándar cubren esa área, la forma estándar necesita ser algo que azuleje el plano en una teselación. De lo contrario - por ejemplo, si utilizas un círculo unitario o un pentágono regular unitario - al tratar de cubrir un área dada con una forma que no puede azulejar el plano, para la mayoría de las áreas inevitablemente tendrás espacios entre las formas unitarias o lugares donde las formas unitarias se superponen o ambas cosas.

Los únicos polígonos regulares que azulejan el plano son el hexágono regular, el cuadrado y el triángulo equilátero.

(Supongo que podrías especificar que las áreas están cubiertas por círculos empaquetados de cerca, pero cada uno de esos círculos corresponde a un hexágono regular, que juntos cubren completamente la misma área sin superposiciones ni espacios vacíos en un rejilla hexagonal, así que podrías igualmente usar un hexágono como tu unidad de área).

Algunas personas miden el área de formas geométricas en unidades de "tetras unitarios" o "triángulos unitarios" en lugar de los clásicos "cubos unitarios" o "cuadrados unitarios".

De igual manera, si quieres saber el volumen de algo en términos de cuántas copias de alguna forma estándar llenan ese volumen, la forma estándar necesita ser un poliedro que rellena el espacio creando un panal.

(Supongo que podrías especificar que los volúmenes están llenos por esferas empaquetadas de cerca, pero cada una de esas esferas corresponde a un dodecaedro rómbico, que juntos cubren completamente la misma área sin superposiciones ni espacios vacíos en un panal dodecaedral rómbico, así que podrías igualmente usar un dodecaedro rómbico como tu unidad de área, como hacen las abejas).

El único sólido platónico que llena el espacio por sí solo es el cubo. Sin embargo, Buckminster Fuller muestra que a veces es conveniente utilizar el tetraedro regular con longitud de arista 1 como unidad de volumen. El panal tetraedro-octaédrico llena el espacio, como en un trus octeto, compuesto por octaedros regulares de longitud de arista 1 (que tiene un volumen de exactamente cuatro tetras unitarios) y tetras unitarios.

Answer 3

La geometría proviene de geo-metría, que significa medición de la tierra. La motivación original detrás de la geometría era definir "este es mi terreno, ese es tuyo, aquí está la frontera, y el mío es más grande". Para que esto funcione, se deben cumplir dos requisitos:

• Dos campos adyacentes deben estar conectados sin "pérdida", como el espacio en forma de estrella entre círculos.
• Una frontera debe ser fácil de definir, como una línea recta entre dos puntos de referencia.

Answer 4

Área medida en unidades circulares

¿Hay alguna razón fundamental por la que no decimos que el área de un cuadrado unitario es de $1 \over \pi$ unidades circulares?

De hecho, medimos el área en mil circulares mucho más a menudo que el área en mil cuadrados.(*)

El área de un círculo con un diámetro de 1 mil es de 1 mil circular.

Un alambre sólido - asumiendo una sección transversal circular, que es cierta para la gran mayoría de alambres - con un diámetro de $d$ mil, tiene un área de $d^2$ mil circular.

El área de un cuadrado de ancho $w$ mil es de ${4 \over \pi}w^2$ mil circulares.

(*) ¿Alguien realmente usa mils cuadrados, aparte de como una ayuda educativa para explicar los mils circulares? Honestamente casi nunca uso mils circulares, pero escucho que son aparentemente la unidad estándar para cables conectados a pararrayos y ciertas otras mandatos de tamaño de cables de seguridad.

Answer 5

Encuentro tu recepción del cuadrado como relacionado con un cuadrado como algo extraño. Básicamente cuestionando toda la pregunta. Como otros mencionaron, no hay nada malo en tener números irracionales, simplemente no se pueden mostrar adecuadamente. Por lo tanto tenemos constantes como $\pi$ para sacarlas. Pero en esencia: La razón por la que hay un $2$ en el resultado cuadrado, en el "área", es porque tienes dos integrales. Tienes que integrar en dos dimensiones. Ya sea ($x$ y $y$) o ($r$ y $\phi$). Pero son dos dimensiones - por lo tanto dos integrales - por lo tanto dos en la unidad. Y en mi opinión no hay relación con una figura que sea rectangular.