Álgebra avanzada-precálculo

Question

Encontrar el valor de $\frac{w^{2}}{x+y+z}+\frac{x^{2}}{w+y+z}+\frac{y^{2}}{w+x+z}+\frac{z^{2}}{w+x+y}$ cuando $\frac{w}{x+y+z}+\frac{x}{w+y+z}+\frac{y}{w+x+z}+\frac{z}{w+x+y}$ = 1, donde $w,x,y,z \in \mathbb R $ .

He tratado de configurar una variable igual a cero, dos variables iguales a cero, y muchas otras combinaciones vano de la mina. Estoy entrenando para una olimpiada de matemáticas, y esta cuestión ha sido alucinante de mi cabeza. Una solución a esto sería apreciado, pero no tanto como los recursos que puede utilizar para encontrar una respuesta definitiva a este problema.

Answer 1

\begin{align} \sum_{\text{cyc}}\frac{w^2}{x+y+z} &= \sum_{\text{cyc}}\left(\frac{w^2}{x+y+z}+w\right)-\sum_{\text{cyc}}w\\ &= \sum_{\text{cyc}}\left(\frac{w(w+x+y+z)}{x+y+z}\right)-\sum_{\text{cyc}}w\\ &= \sum_{\text{cyc}}w\sum_{\text{cyc}}\left(\frac{w}{x+y+z}\right)-\sum_{\text{cyc}}w\\ &= 0 \end{align}

Answer 2

Insinuación

Si $a=\sum_{\text{cyc}}\dfrac {w^2}{x+y+z}$ , entonces

$a+w+x+y+z=\sum_{...}\left(w+\dfrac{w^2}{x+y+z}\right)=(w+x+y+z)\sum\dfrac w{x+y+z}=(w+x+y+z)1$

Answer 3

Deje $$a=\frac{w^{2}}{x+y+z}+\frac{x^{2}}{w+y+z}+\frac{y^{2}}{w+x+z}+\frac{z^{2}}{w+x+y}$$

y vamos a $$b=\frac{w}{x+y+z}+\frac{x}{w+y+z}+\frac{y}{w+x+z}+\frac{z}{w+x+y}$$

con $w, x, y, z \in \mathbb{R} $

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La pregunta que te hacen, a continuación, se convierte en

Si $b=1$, entonces ¿cuál es el valor de $a$?

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Voy a mostrar algo interesante. Voy a demostrar que si la pregunta es responder con sólo la información que se le da, entonces la respuesta debe ser $0$.

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Observe que el valor de $b$ no cambia si multiplicamos todos los cuatro de $w, x, y, z$ por cualquier constante real distinto de cero $c$.

Sin embargo, si hacemos esto, el valor de $a$ hace el cambio, por un factor de $c$.

Si la pregunta puede ser contestada, a continuación, sólo hay un valor posible para $a$. Pero, a continuación, $ac=a$ para todos los distinto de cero real $c$.

El único número real que es invariate, bajo la multiplicación por todas las opciones para la constante distinto de cero $c$, es cero.

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Hemos demostrado que la pregunta no puede ser respondida sólo con la información proporcionada, o $$a=0$$

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Ya que usted menciona que se están preparando para una olimpiada de matemáticas, este tipo de razonamiento (que implica el supuesto de que la pregunta tiene una respuesta definitiva) podría ser útil.

Answer 4

Aquí hay una manera que comienza con la expresión dada $\frac{w}{x+y+z}+\frac{x}{w+y+z}+\frac{y}{w+x+z}+\frac{z}{w+x+y}$ y resuelve la búsqueda de una.

Dejar

• $S = \sum_{cyc}w\Rightarrow \frac{w}{x+y+z}+\frac{x}{w+y+z}+\frac{y}{w+x+z}+\frac{z}{w+x+y} = \sum_{cyc}\frac{w}{S-w} = 1$

Ahora, tenemos \begin{eqnarray*} S & = & S\underbrace{\sum_{cyc}\frac{w}{S-w}}_{=1} \\ & = & \sum_{cyc}\frac{(S-w+w)w}{S-w} \\ & = & \sum_{cyc}\left(w + \frac{w^2}{S-w} \right) \\ & = & S +\sum_{cyc}\frac{w^2}{S-w} \\ & \Rightarrow & \sum_{cyc}\frac{w^2}{S-w} =0 \end {eqnarray *}

Answer 5

Vamos a probar tu método! Set $z=w=0$, entonces: $$\frac{w}{x+y+z}+\frac{x}{w+y+z}+\frac{y}{w+x+z}+\frac{z}{w+x+y}=1 \Rightarrow \\ \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=1 \Rightarrow x^2+y^2=xy\Rightarrow x^2+y^2\ge 2|xy|>xy$$ Así que no hay ninguna solución real.

Sin embargo, para los números complejos: $$\frac{w^{2}}{x+y+z}+\frac{x^{2}}{w+y+z}+\frac{y^{2}}{w+x+z}+\frac{z^{2}}{w+x+y}=\\ \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}=\frac{x^3+y^3}{xy}=\frac{(x+y)(x^2+y^2-xy)}{xy}=0.$$

Alternativamente, la suerte de combinación de $w+z=0,x+y=-y$: $$\frac{w}{x+y+z}+\frac{x}{w+y+z}+\frac{y}{w+x+z}+\frac{z}{w+x+y}=1 \Rightarrow \\ \frac {z}{z-y}+\frac{-2y}{y}+\frac{y}{-2y}+\frac{z}{-z-y}=1 \Rightarrow \\ \frac{z}{y-z}-\frac{z}{y+z}=\frac72 \Rightarrow \\ 11z^2=7y^2\Rightarrow \\ z=\pm \sqrt{\frac{7}{11}}$y$ Así: $$ $ y=1,x=-2,z=\sqrt{\frac7{11}}=-w\\ \frac{w^{2}}{x+y+z}+\frac{x^{2}}{w+y+z}+\frac{y^{2}}{w+x+z}+\frac{z^{2}}{w+x+y}=\\ \frac{z^2}{z-1}+\frac{4}{1}+\frac{1}{-2}+\frac{z^2}{-z-1}=\\ \frac{2z^2}{z^2-1}+\frac72=\\ \frac{14}{11}\cdot \left(-\frac{11}{4}\right)+\frac72=0.$$