Evaluar $\int_{0}^{1}\left(\frac{\arctan(x)}{1+x\arctan(x)}\right)^2dx$

Question

¿Evaluar esta integral? $$\int_{0}^{1}\left(\frac{\arctan(x)}{1+x\arctan(x)}\right)^2\mathrm dx$$

$y=\arctan(x)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+\tan^2(y)}$

$$\int_{0}^{\pi/4}\frac{y^2(1+\tan^2(y))}{(1+y\tan(y))^2}\mathrm dy$$

Esta transformación buscada es mucho más difícil que la original.

Lo he comprobado en la integral de Wolfram, que devuelve una bonita forma cerrada de $\frac{4-\pi}{4+\pi}$ aparentemente. ¿Es correcto este resultado?

Answer 1

Sugerencia

Multiplica el numerador y el denominador por $\cos^2y$ para encontrar

$$\int\dfrac{y^2}{(\cos y+y\sin y)^2}dy$$

Ahora como $\dfrac{d(\cos y+y\sin y)}{dy}=y\cos y$

escribir $\dfrac{y^2}{(...)^2}=\dfrac{y\cos y}{(...)^2}\cdot y\sec y$

Ahora integra por parte