¿Por qué elegir números primos elimina la vibración?

Question

He leído que los radios de una rueda de carro suelen ser cinco porque, además de otras razones importantes, el cinco al ser un número primo ayuda a reducir las vibraciones.

Lo mismo ocurre con los números de las aspas de una turbina y la manera en la que se espacia la parrilla de un microondas. Siempre se prefieren los números primos.

Answer 1

Los números primos generalmente se utilizan para reducir la magnitud de resonancias. Estas ocurren en un sistema multifrecuencia no lineal cuando dos de las frecuencias $\omega_1:\omega_2$ coinciden en una relación $p:q$, donde $p,q$ son números coprimos.

Para simplificar, puedes pensar en un ejemplo mínimo de tal sistema como dos osciladores (no lineales) que están acoplados con una fuerza adimensional $\epsilon$. Digamos que el oscilador 2 no está oscilando, entonces la fuerza del oscilador 1 generalmente hará que oscile con una energía cinética proporcional a $\epsilon$. Sin embargo, en resonancia, la respuesta del oscilador $2$ escala como $\sqrt{\epsilon}$. Cosas curiosas pueden ocurrir en sistemas disipativos, donde esperas que cualquier vibración se amortigüe, pero resulta que a veces ocurre una resonancia sostenida que mantiene la oscilación secundaria "bloqueada" en su lugar durante períodos prolongados que escalan como $\propto t_{\rm diss}/\sqrt{\epsilon}$, donde $t_{\rm diss}$ es la escala de tiempo disipativa (pero generalmente el sistema permanece en resonancia durante un tiempo $\propto t_{\rm diss} \sqrt{\epsilon}$).

Por otro lado, esta respuesta también está suprimida exponencialmente por un factor $\exp\left[-\alpha(|p|+|q|)\right]$ con $\alpha$ algún número positivo, al menos para acoplamientos razonablemente suaves entre las oscilaciones. En otras palabras, cuando los $p,q$ en la resonancia son números grandes, la resonancia es de "alto orden", y su magnitud será mucho menor y mucho menos molesta. Como regla general, debes preocuparte por resonancias con $|p|+|q|$ hasta 5 aproximadamente.

Ahora considera el ejemplo de la rueda con 5 radios. El contacto de la rueda con la carretera traerá una conducción con la frecuencia de rotación $\Omega$ al sistema. Sin embargo, el siguiente armónico principal de la conducción tendrá una frecuencia $5\Omega$ debido a los radios. Ahora, si hay osciladores en el sistema con frecuencias adecuadas $\omega$ de tal manera que $\omega/\Omega = p/q$, entonces la resonancia secundaria $\omega/(5\Omega) = p/(5q)$ es una resonancia de orden muy superior ($|p|+|5q|\geq6$) a menos que $p$ sea un múltiplo de cinco. Pero si $p$ es un múltiplo de cinco, la resonancia primaria tiene $|p|+|q|\geq 6$ y ya debería ser razonablemente débil. Por lo tanto, empujar el siguiente armónico a 5 veces la frecuencia principal parece ser una elección razonable para reducir en cierta medida la respuesta resonante, y este tipo de reglas se aplicarán para cualquier primo.

Pero, esta no es una reducción importante en la respuesta resonante, la única forma de desordenar las resonancias es realmente asegurarse de que las oscilaciones en el sistema sean no lineales (su espectro de frecuencia no es degenerado, los osciladores son altamente anarmónicos), es poco probable que coincidan con las frecuencias de conducción o entre sí en relaciones de bajo orden ($1:1$, $1:2$), y que haya suficiente amortiguamiento presente.

Considera también que trasladar mucha de la potencia de la conducción del sistema a través de la rueda hacia el siguiente armónico $5\Omega$ significa básicamente hacer que la rueda sea menos redonda. Pero hay muchas razones por las cuales quieres que tu rueda sea redonda, así que no creo que la potencia en el siguiente armónico sea realmente grande.

Por lo tanto, creo que debe haber una serie de otras razones para elegir el número de radios, y 5 es realmente un compromiso entre varios factores como la fabricación y la robustez como se menciona en algunas de las otras respuestas aquí.

Answer 2

Al intentar responder a esta pregunta, me encontré con una gran cantidad de fenómenos interesantes relacionados con los números primos. Esta no es una respuesta muy detallada, pero espero poder compartir la intuición y la sensación de los conceptos involucrados.

El fenómeno con el que estamos tratando es la resonancia.

En cualquier máquina, hay varias partes. Cada parte tiene alguna frecuencia de resonancia (una frecuencia natural). Ahora, se produce una vibración notable cuando la magnitud de esta oscilación aumenta. ¿Cómo sucederá eso? Si tienes dos partes cuyas frecuencias de resonancia son iguales o múltiplos entre sí, cuando una de las partes vibra, golpea de cierta manera a la otra y hace que la otra parte vibre con una mayor amplitud. Por lo tanto, lentamente la amplitud de la oscilación en ambas partes aumentará debido a un mecanismo de retroalimentación y eventualmente una vibración tan grande puede dañar la máquina.

Lo mismo ocurre con una rueda. De hecho, no puedes simplemente mirar los radios. También habrá algún mecanismo debajo que sostiene la rueda con cierto número de extensiones. Por ejemplo, para que el eje del automóvil tenga un buen agarre en las ruedas, debe tener algunos elementos que se extienden desde el eje para engancharse con la rueda. Ahora, dejemos que el número de extensiones sea n1 y el número de radios sea n2. Si n1 y n2 son múltiplos entre sí, debido al mecanismo de retroalimentación discutido, se podrían causar grandes vibraciones. Por lo tanto, en general n1 y n2 necesitan ser primos entre sí y en la mayoría de los casos se usan los números 3, 5, 7. Por lo que entiendo, los números primos entre sí reducen las vibraciones porque se cancelan entre sí.

Obtuve la idea para esta respuesta a partir de dos fenómenos. Uno está descrito aquí - https://www.reddit.com/r/askscience/comments/1aulwq/why_are_frequencies_in_hz_which_are_prime_numbers/

El segundo objeto era un ventilador de pedestal. ¿Alguna vez te has preguntado por qué el número de aspas en un ventilador y el número de radios en su carcasa no son iguales? Se aplica el mismo concepto. Por eso, para un ventilador de 3 aspas, se utiliza una carcasa de 5 radios, aunque cuesta más dinero hacer una carcasa de este tipo que una de 3 radios.

Answer 3

Los engranajes deben tener un número (co)primo de dientes para proporcionar un desgaste uniforme (https://es.wikipedia.org/wiki/Número_primo#Métodos_computacionales), pero no veo por qué una rueda necesita tener un número primo de radios. Por otro lado, parece que un número impar de radios podría ser preferible para la fabricación (https://www.quora.com/¿Por-qué-las-ruedas-de-los-coches-suelen-tener-un-número-impar-de-rayos), y el número menos impar y no primo es 9, que puede ser demasiado para la cantidad de radios.