Propiedades locales de los anillos.

Question

Deje $R$ ser un anillo o más genrally un $R$-módulo de $M$. Mi pregunta es ¿qué es la intuición detrás o más precisamente cuando la siguiente argumentación es aplicable:

Deje $\mathcal{P}$ ser un anillo teórica de la propiedad, a continuación,

$R$ ha $\mathcal{P}$ si y sólo si TODAS las localizaciones $R_m$ con respecto a los máximos ideales de la $m$ de $R$ tienen la propiedad $\mathcal{P}$

¿Cuál es la naturaleza más profunda de las propiedades de $\mathcal{P}$ que son compatibles con la argumentación técnica descrita anteriormente? Teniendo en cuenta la teoría de los esquemas que uno puede simplemente decir que esto se refiere a los "locales" de las propiedades. Hay alguna intuición para reconocer cuando dichos bienes locales de la naturaleza?

Answer 1

Aquí, la intuición es indicado por la terminología. Vamos a llamar "la propiedad local", una propiedad que es verdadera si y sólo es cierto para todas las localizaciones de la máxima ideales. A continuación, un local propiedad es una propiedad que, traducido (ver abajo) en términos de variedades algebraicas, es cierto para una variedad algebraica si y sólo si es verdadera en cada punto de la variedad.

Por ejemplo, siendo un regular anillo es la traducción algebraica de una variedad regular. Por definición, una variedad es regular si no tienen ningún punto singular. Existen diferentes definiciones de un punto singular, que son todos equivalentes con el hecho de que el anillo local en este punto no es un anillo local regular.

Esta traducción de la geometría al álgebra, y por el contrario de álgebra a la geometría comenzó con Hilbert Nullstellensatz que establece una correspondencia entre afín subvariedades y el primer ideales en un polinomio anillo, pero su riqueza ha sido completamente se ha entendido que sólo con Grothendieck del esquema de la teoría.

En definitiva, un afín algebraicas conjunto se define como el común de los ceros de un ideal de $I$, a la que está asociado el anillo de $R =K[x_1, \ldots, x_n]/I$. Este anillo es el anillo de funciones polinómicas en el conjunto algebraico. El anillo local de $R$ a un ideal maximal $m$ es el anillo de funciones polinómicas en la variedad que se definen en una vecindad del punto asociado a $m$. La idea de Grothendieck fue empujar a su límite esta traducción al álgebra, y a la inversa es mediante la definición de una variedad algebraica (más precisamente, de una "afín" régimen) por un anillo junto con su topología de Zariski, y el espacio anillado local de los anillos. En este contexto, los puntos no son sólo la máxima ideales, pero todos prime ideales (correspondiente a la sub-variedades).

Como esta teoría se aplica a cualquier anillo conmutativo, y no sólo en aquellos que están asociados a variedades algebraicas, uno necesita a menudo a asumir otras propiedades para probar que una propiedad es una propiedad local (por ejemplo, que el anillo es Noetherian, o es un álgebra que es finitely generado más de un campo).