$T$ es continua si y sólo si $\ker T$ está cerrado

Question

Dejemos que $X,Y$ sean espacios lineales normados. Sea $T: X\to Y$ ser lineal. Si $X$ es de dimensión finita, demuestre que $T$ es continua. Si $Y$ es de dimensión finita, demuestre que $T$ es continua si y sólo si $\ker T$ está cerrado.

Soy capaz de demostrar que $X$ , de dimensión finita $\implies$ $T$ está acotado, por lo tanto es continuo.

Para la segunda parte: Esto es lo que tengo:

Supongamos que $T$ es continua. Por definición $\ker T = \{ x\in X : Tx = 0 \}$ y así $\ker T$ es la inversa continua de un conjunto cerrado. Por lo tanto, $\ker T$ está cerrado.

En primer lugar, es lo que he intentado bien. ¿Qué tal la otra dirección?

Answer 1

Si $\ker(T)$ está cerrado, entonces $X/\ker(T)$ es un espacio vectorial normado. Obsérvese que el mapa $\overline{T}:X/\ker(T)\to Y$ dado por $\overline{T}(x+\ker(T))=T(x)$ es un mapa lineal bien definido por la primera parte $\overline T$ es continua ya que $X/\ker(T)$ es un espacio vectorial de dimensión finita (ya que es isomorfo a un subespacio de $Y$ ). Sea $\pi: X \to X/\ker(T)$ denotan el mapa cociente. Nótese que $T=\overline{T}\circ \pi$ por lo que $T$ es continua ya que es una composición de funciones continuas.

Answer 2

Estoy haciendo para $Y=\mathbb{R}$ ; Es evidente que si $f$ es continua entonces su núcleo es un conjunto cerrado. para la inversa, supongamos que $f\neq0$ y que $f^{-1}(\{0\})$ es un conjunto cerrado. Elige alguna $e$ en $X$ con $f(e)=1$ . Supongamos, por contradicción, que $||f||=\infty$ . Entonces existe una secuencia $\{x_n\}$ en $X$ con $||x_n||=1$ y $f(x_n)\ge n$ para todos $n$ . Obsérvese que la secuencia $\{y_n\}$ definido por $y_n=e-\frac{x_n}{f(x_n)}$ , satisface $y_n\in f^{-1}(\{0\})$ para todos $n$ y $y_n\rightarrow e$ . Dado que el conjunto $f^{-1}(\{0\})$ está cerrado se deduce que $e$ debe pertenecer a ella y, en consecuencia $f(e)=0$ que es una contradicción. Así, $f$ es una función lineal continua.