Encontrar la probabilidad de que el valor máximo de$N + 1$ de variables aleatorias sea mayor que un límite dado

Question

Positivas de las variables aleatorias $X_{0}, X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{N}$, donde $N$ es también una variable aleatoria, sabemos que $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{N - 1}$ son I. I. D. con PDF continuo $f(x)$ e $X_{0} + X_{1} + X_{2} + \ldots + X_{N} = 1$. ¿Qué es $P(\max_{i = 0} ^ {N} X_{i} \le d)$, para un determinado $d$?

Si una solución exacta no es posible, uno puede encontrar los límites para esta probabilidad? Puede que este problema sea resuelto si $f(x)$ es bien conocida la distribución (es decir exponencial, log-normal, etc.)?

EDIT. Un problema equivalente es la siguiente: un número de puntos se encuentran en el intervalo de $[0, 1]$. Si sabemos que la longitud de los segmentos entre cada dos puntos consecutivos que se I. I. D variables aleatorias con PDF $f(x)$ (esto NO incluye la distancia entre $0$ y el primer punto, o $1$ y el último punto), ¿cuál es la probabilidad de que no hay apertura de más de $d$ en este intervalo? $d$ es un hecho y parámetro fijo.

EDIT2. Un problema relacionado puede ser esta: 1-D del punto del proceso que abarca $\mathbb{R}$ donde interarrival veces son I. I. D. variables aleatorias con PDF $f(x)$, ¿cuál es la probabilidad de observar una apertura mayor que un determinado valor de $d$ en el intervalo de $[0, 1]$? Los espacios entre las $0$ y el primer punto de caer en el intervalo y $1$ y el último punto de caer en el intervalo de contar así. Por ejemplo, si para algunos realización sólo hay un punto en el intervalo de $[0, 1]$ a $\frac{1}{2}$, hay dos aperturas en este intervalo, y ambos tienen una longitud de $0.5$. Si por otra realización que no hay puntos en el intervalo de $[0, 1]$, sólo hay una apertura en este intervalo y tiene una longitud de $1$.

Espero que esta edición se aclara la confusión y no agregar a ella.

Answer 1

El problema es underspecified por mucho... no sabemos casi nada acerca de la $X_0, X_N$ e $N$ , salvo que los tres de ellos juntos logran hacer $\sum_{j=0}^N X_j = 1$.

De taquigrafía, escribir $M = \max_{j=0}^N X_j.$

Obviamente $M \le 1$, lo $\forall d \ge 1: P(M \le d) = 1$. Esto es trivial y a partir de ahora se considera sólo a $d < 1$.

Reclamación A: No no trivial (es decir, $> 0$) límite inferior es posible. I. e. existe un ejemplo en donde la $\forall d < 1: P(M \le d) = 0$.

Ejemplo: $N \equiv 0, X_0 \equiv X_N \equiv 1$. En este ejemplo, $M \equiv 1$, lo $\forall d < 1: P(M \le d) = 0$.

Reclamación de B: Si $d \ge \frac12$, el no-trivial (es decir, $<1$) límite superior es posible. I. e. existe un ejemplo en donde la $\forall d \ge \frac12: P(M \le d) = 1$.

Ejemplo B: $N \equiv 1, X_0 \equiv X_N \equiv \frac12$. En este caso, $M \equiv \frac12$, lo $\forall d \ge \frac12: P(M \le d) = 1$.

Reclamo C: Si $d < \frac12$, posiblemente no trivial límite superior es $P(M \le d) \le P(X_1 \le d) = F(d)$ donde $F()$ es la CDF de $X_1$.

Prueba: Somos libres para elegir $X_0, X_N$ tan alto como sujeto deseado para cada uno de los ser $\le d$, pero esto deja un "hueco" de, al menos, $1-2d > 0$, el cual debe ser llenado por, al menos, $X_1$. Para $M\le d$ a suceder requiere de $X_1 \le d$. Por lo tanto $P(M \le d) \le P(X_1 \le d) = F(d)$.

Reclamo D: (versión más Fuerte de la Demanda C) Si $d < \frac12$, posiblemente no trivial límite superior es $P(M \le d) \le F(d)^K$ donde $K = \lceil {1-2d \over d} \rceil = \lceil {\frac1d - 2} \rceil$.

Prueba: Refinación de la anterior prueba, si un hueco de tamaño, al menos, $1-2d$ es para ser llenado por uno o más $X_j$'s, y cada una de las $X_j \le d$, entonces el número de $X_j$'s debe ser $\ge K = \lceil {1-2d \over d} \rceil$. Para $M \le d$ a suceder por lo tanto se requiere de al menos todos los de $X_1, X_2, \dots, X_K \le d$. Ya que son I. I. D., $P(\text{all } X_1, \dots, X_k \le d) = F(d)^K$.

Reclamación E: Para cualquier valor de $d$ (donde $d < \frac12$), el obligado en la Demanda D es apretado. I. e. existe un ejemplo (depende de la $d$) donde $P(M \le d) = F(d)^K$.

Ejemplo E: $X_0 = d, N = K+1, X_N = 1 - (K+1)d,$ e $X_j$ es bi-valoración (sesgada tirón de la moneda) y toma el valor de $d$ con una probabilidad de $F(d)$ y algún otro valor $c > d$ con una probabilidad de $1 - F(d)$. A continuación, $M \le d$ pasa si usted consigue $K$ moneda gira de valor de $d$ cada uno, es decir, $P(M \le d) = F(d)^K$.

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Me imagino que mejor los límites son posibles si tenemos más información de, por ejemplo, para eliminar o prohibir los Ejemplos a y B. O, incluso, sólo en la Reivindicación D/E, un mejor obligado que podría ser posible si conocemos el comportamiento de $F()$ en valores pequeños, para eliminar el Ejemplo E.