¿El valor absoluto de una serie estacionaria es también estacionario?

Question

Sé que las transformaciones lineales de las series temporales que surgen de procesos (débilmente) estacionarios son también estacionarias. Sin embargo, ¿es esto cierto para una transformación de una serie mediante la toma del valor absoluto de cada elemento también? En otras palabras, si $\{x_i,i\in\mathbb{N}\}$ es estacionario, entonces es $\{|x_i|,i\in\mathbb{N}\}$ ¿también estacionario?

Answer 1

En un caso concreto esto es algo cierto:

Si su serie temporal es estacionaria con un error distribuido normalmente, entonces los valores absolutos de su serie temporal original siguen una distribución normal plegada estacionaria. Dado que incluso la estacionariedad débil significa ambos la media y la varianza son constantes en el tiempo, los valores absolutos también serán estacionarios. Para otras distribuciones, esto significa que los valores absolutos de la serie temporal original son al menos débilmente estacionarios, ya que la varianza constante de los valores originales se traduce en una media constante de los nuevos valores.

Sin embargo, si su serie temporal original sólo tiene una media constante, la varianza puede cambiar con el tiempo, lo que afectará al media de los valores absolutos. Por lo tanto, los valores absolutos no serán (débilmente) estacionarios.

Una respuesta más general requeriría algún estudio de la función generadora de momentos del valor absoluto de una variable aleatoria. Quizá alguien con más conocimientos matemáticos pueda responder a eso.

Answer 2

Dejemos que $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ sea una serie temporal en la que $X_n$ es una variable aleatoria discreta que toma valores $\cos(n), \sin(n), -\cos(n), -\sin(n)$ con igual probabilidad $\frac 14$ . Se puede comprobar fácilmente que $E[X_n] = 0$ y \begin{align}E[X_mX_{m+n}] &= \frac 14\bigg[\cos(m)\cos(m+n)+\sin(m)\sin(m+n)\\ &= ~ + (-\cos(m))(-\cos(m+n))+(-\sin(m))(-\sin(m+n))\bigg]\\ &= \frac 12\bigg[\cos(m)\cos(m+n)+\sin(m)\sin(m+n)\bigg]\\ &= \frac 12\,\cos(n)\end{align} por lo que el proceso es débilmente estacionario. También es evidente que no estrictamente estacionario ya que $X_0$ y $X_n$ , $n\neq 0$ adoptan valores diferentes y, por tanto, las distribuciones de $X_n$ y $X_m$ son diferentes en lugar de ser iguales como es necesario (junto con muchos otros requisitos) para la estacionariedad estricta.

Para el proceso débilmente estacionario descrito anteriormente, el proceso $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ es no débilmente estacionario porque $E[|X_n|] = \left.\left.\frac 12\right[\cos(n) + \sin(n)\right]$ no es una constante como se necesita para la estacionariedad débil (aunque es es cierto que la función de autocorrelación $E[|X_m|\cdot|X_{m+n}|]$ es una función de $n$ solo).

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Por otro lado, como señala @bananach en un comentario a la pregunta principal, si la estacionariedad se interpreta como estricto estacionariedad, entonces la estacionariedad estricta de $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ implica que $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ es también un proceso estrictamente estacionario. Los procesos estrictamente estacionarios con varianza finita son también procesos débilmente estacionarios y, por tanto, para esta subclase, es cierto que la estacionariedad débil de $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ implica una estacionariedad débil de $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ . Pero, como se describe en la primera parte de esta respuesta, no se puede siempre concluyen que la estacionariedad débil de $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ implica una estacionariedad débil de $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ .

Answer 3

La respuesta es no. Esto se puede ver considerando una secuencia de independientes r.vs. $X_i$ con su distribución marginal tomada en una familia paramétrica que depende de tres parámetros. Para obtener un ejemplo genérico ejemplo, podemos considerar una distribución que puede ser re-parametrizada utilizando los dos primeros momentos junto con el momento absoluto $\mathbb{E}[|X|]$ . Podemos mantener constantes los dos primeros parámetros mientras que el tercero $\mathbb{E}[|X_i|]$ depende de $i$ .

Como ejemplo concreto podemos tomar una distribución discreta con soporte $\{-2, \, -1, \, 1, \, 2\}$ los tres momentos $\mathbb{E}[X]$ , $\mathbb{E}[X^2]$ y $\mathbb{E}[|X|]$ expresar como combinaciones lineales de las cuatro probabilidades $p_k := \text{Pr}\{X = k\}$ . Como las tres combinaciones lineales son linealmente independientes podemos usar los tres momentos para re-parametrizar como se quiera.

Answer 4

Como otros han demostrado, la estacionariedad débil no se mantiene necesariamente cuando se toma el valor absoluto de la serie temporal. La razón es que tomar el valor absoluto de cada elemento de la serie temporal puede cambiar la media y la varianza de forma no uniforme, debido a las diferencias en las distribuciones subyacentes de los valores. Aunque la estacionariedad débil no se traslada de este modo, no está de más que estacionariedad fuerte hace permanecen bajo la transformación del valor absoluto.