Tiempos de golpeo por movimiento browniano

Question

[Editado] Supongamos que $A$ es un conjunto medible (Borel) y $X$ es una difusión Ito, es decir, $dX_{t}=\mu(X_t)dt+\sigma(X_t)dB_t$ .

Considera un tiempo de golpeo $\tau_A$ del conjunto dado $A$ por el proceso $X$ : $\tau_A:=\inf\{t\geq0:X_t\in A\}$ .

Además, deja que $\tau_\bar{A}:=\inf\{t\geq0:X_t\in \bar{A}\}$ donde $\bar{A}$ es el cierre de $A$ .

Ahora, mi pregunta es: ¿Es $\tau_\bar{A} = \tau_A$ (a.s.)? Creo que esto debe ser cierto, pero no encuentro ninguna referencia al respecto... En caso de que mi conjetura sea incorrecta, ¿alguna idea sobre condiciones razonables (ya sea sobre $A$ o $X$ ) bajo la cual esto es cierto?

Le agradecería mucho su ayuda.

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Sobre la base de los comentarios siguientes, suponga que $X_t$ es un proceso de difusión Ito y permítanme refinar mi pregunta de la siguiente manera:

1. Dejemos que $X_0 = x$ . Si el proceso $X$ vuelve a $x$ con una frecuencia infinita en cualquier intervalo de tiempo $(0,\epsilon)$ , $\epsilon>0$ entonces podemos decir que mi afirmación anterior ( $\tau_\bar{A} = \tau_A$ (a.s.)) es verdadera? Mi intuición es que si $X$ tiene esta propiedad, entonces junto con la propiedad de Markov de $X$ para cualquier $t$ , una ruta de muestra $X_{s>t}$ siempre en "zig-zag" alrededor de $X_t$ para cualquier $s>t$ . Así, dado cualquier conjunto $A$ En cuanto $X$ llega a su punto límite de $A$ (que pertenece al cierre de $A$ ), también debería golpear $A$ en un tiempo arbitrariamente pequeño $\epsilon>0$ . ¿Tiene sentido mi argumento?

2. Si el número 1 es correcto, entonces la pregunta siguiente es: ¿bajo qué condición en $\mu(\cdot)$ y $\sigma(\cdot)$ una difusión de Ito $X$ tiene esta propiedad? Como ejemplo canónico, ¿un movimiento browniano con deriva ( $\mu(\cdot)=\mu$ y $\sigma(\cdot)=\sigma$ ) tienen esta propiedad?

¡Cualquier idea o sugerencia para la referencia sería realmente apreciada!

Answer 1

Soy muy nuevo en este campo, pero lo voy a intentar de todos modos. Así que por favor sea crítico y hágame saber si algo está mal (Estamos aquí para aprender así que...).

La afirmación no es cierta en general, de hecho tenemos un par de contraejemplos.

Un simple contraejemplo. Dejemos que $\mu\equiv 1$ y $\sigma\equiv 0$ . Definir $$A:=(0,1)$$ Entonces tenemos para $X_0=1$ la solución única explícita para $X_t$ dado por $$X_t=1+t$$ En este caso concreto $$\tau_A=\infty, \ \ \text{ and }\ \ \ \tau_A^-=0.$$

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Podríamos añadir condiciones adicionales para conseguirlo $\tau_A=\tau_A^-$ a.s., supongo que podemos cocinar la siguiente propuesta sencilla que se inspira en el comentario de Saz. También añado algunas reflexiones al final. Pero antes necesitamos algunos lemas. Fijemos el espacio de probabilidad filtrado $(\Omega,\mathcal F,\mathcal F_t,\mathbb P)$ .

Lema 1. Para el caso $X=B$ tenemos $$\tau_A=\tau_A^- \ \ \ \text{ a.s. }$$

Prueba. Este lema es una generalización de lo que Saz demostró aquí en esta respuesta . La prueba debería ir más o menos igual por lo que se omitirá.

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Ahora decimos lo mismo si consideramos los movimientos brownianos cambiados en el tiempo.

Lema 2. Dejemos que $(T(t))_{t\geq 0}$ sea un proceso estocástico estrictamente creciente y continuo tal que $T(0)=0$ y $\lim_{t\to\infty}T(t)=\infty$ . Entonces para $X_t=B_{T(t)}$ tenemos $$\tau_A=\tau_A^- \ \ \ \text{ a.s. }$$

Prueba. Desde $t\mapsto T(t)(\omega)$ para algunos fijos $\omega\in\Omega$ es creciente y continua tenemos la existencia de la "variable aleatoria inversa" creciente y continua $t\mapsto T^{-1}(t)(\omega)$ . El dominio de $T$ y $T^{-1}$ (en función de $t$ ) es $[0,\infty)$ . Tenemos \begin{align} \tau_A&=\inf\{t\geq 0 \ :\ B_{T(t)}\in A\}\\ &=\inf\{t\geq 0\ : \ s=T(t), \ B_s\in A\}\\ &=T^{-1}(\inf\{s\geq 0\ : \ B_s\in A\}) \\ &=T^{-1}(\inf\{s\geq 0\ : \ B_s\in \overline{A}\}) \\ &=...\\ &=\tau_A^{-1} \end{align} En la tercera línea hemos utilizado la continuidad y la monotonicidad de $T^{-1}$ y la línea que precede a los puntos se debe al Lemma 1. En los puntos hemos hecho los pasos anteriores con $\overline{A}$ para obtener la última línea.

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Ahora, por fin, podemos afirmar la proposición.

Propuesta. Supongamos que $\mu$ y $\sigma$ son continuas de Lipschitz de modo que una solución única $(X_t)_{t\geq 0}$ existe para $X_0=x\in\mathbb R$ . Además, supongamos que $\sigma$ está acotado lejos de cero, es decir, hay $c>0$ tal que $|\sigma|\geq c$ . Por último, supongamos que $$Z_t=\exp\left(-\int^t_0 \frac{\mu(X_s)}{\sigma(X_s)}\,dB_s+\frac 1 2 \int^t_0\frac{\mu(X_s)^2}{\sigma(X_s)^2}\,ds \right)$$ es un $\mathcal F_t$ -martingale. Entonces tenemos que $\tau_A=\tau_A^-$ a.s..

Prueba. Sinze $Z_t$ es una martingala, podemos definir una medida de probabilidad $\mathbb Q$ que equivale a $\mathbb P$ , por $$\frac{d\mathbb Q}{d\mathbb P}|_{\mathcal F_t}=Z_t$$ La aplicación de Girsanov nos da que $$W_t=B_t+\int^t_0\frac{\mu(X_s)}{\sigma(X_s)}\,ds$$ es un BM con respecto a $\mathbb Q$ . También verificamos con respecto a $\mathbb Q$ podemos escribir $X$ como $$X_t=x+\int^t_0\sigma(X_s) \,dW_s$$ Ahora nos damos cuenta de que $$\langle X\rangle_t=\int^t_0 \sigma(X_s)^2\,ds\geq \int^t_0 c^2\,ds=tc^2$$ Por lo tanto, $\langle X\rangle_\infty=\infty$ . Por el Teorema de Dubins-Schwarz existe un BM con respecto a $\mathbb Q$ , digamos que $\tilde W$ , de tal manera que $$X_t=x+\tilde W_{\langle X\rangle_t}$$ Ahora toma $T(t)=\langle X\rangle_t$ . Aplique el lema 2 con este $T(t)$ y $A'=A-\{x\}$ para hacer la prueba.

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Algunas observaciones/pensamientos.

• La proposición muestra que, en particular, una BM con deriva satisface la propiedad.
• Hay muchas maneras de demostrar que $Z_t$ es una martingala, tal vez la de Novikov o la de Kazamaki sean aplicables.
• Gracias a Saz que me dijo que usara el Teorema de Dubins-Schwarz para hacer la proposición aplicable a una clase más grande de Ito-difusiones.