Existencia de una subsecuencia convergente puntual.

Question

Deje $X$ ser un espacio métrico compacto y $f_m:X\to[0,1]$ una función continua para cada una de las $m\in\mathbb N$.

No existe necesariamente una $f:X\to[0,1]$ (no necesariamente continua) y una larga $(f_{m_k})$ tal que $f_{m_k}(x)\to f(x)$ por cada $x\in X$ pointwise?

Tenga en cuenta que el equicontinuity de $(f_m)_{m\in\mathbb N}$ no se asume, de manera que el Arzelà–Ascoli es el teorema de no utilizar aquí. Sin embargo, la conclusión deseada también es más débil: la supuesta función de límite de $f$ no necesita ser continua y sólo pointwise la convergencia es necesaria.

Cualquier sugerencia se agradece.

Answer 1

No, No, no. Considere la posibilidad de $f_n(x) = \cos(4^n \pi x)$ a $[0,1]$ (con un rango de $[-1,1]$ no $[0,1]$, pero puede transformarla). Entonces para cualquier subsequence $f_{n_k}$, hay algunos $x \in [0,1]$ tal que $f_{n_k}(x) \ge \cos(\pi/4)$ si $k$ es impar y $\le -\cos(\pi/4)$ si $k$ es incluso. Todo lo que necesita hacer es elegir la base-$4$ dígitos de $x$ correctamente.

EDIT: Cualquier elección de la primera $n$ dígitos después de la "decimal" punto de hojas de $x$ en un intervalo de longitud de $4^{-n}$ en que $f_n$ va de $1$ a $-1$ o $-1$ a $1$. Elija el $n+1$'th dígito a $0$ o $3$ hacer $f_n(x) \ge \cos(\pi/4)$ o $\le -\cos(\pi/4)$ (que es la que depende de las opciones anteriores de dígitos). Por ejemplo, si se elige la primera $3$ dígitos a ser $0,3,0$, que dice $x$ entre $0 \times 4^{-1} + 3 \times 4^{-2} + 0 \times 4^{-3} = 3/16$ e $0 \times 4^{-1} + 3 \times 4^{-2} + 1 \times 4^{-3} = 13/64$, decir $x = 3/16 + 4^{-3} t$, $0 \le t \le 1$. En este intervalo, $f_3(x) = \cos(4^3 \pi x) = \cos(\pi t)$ va de $1$ a $t=0$ a $-1$ a $t=1$. Si desea $f_3(x) \ge \cos(\pi/4)$, elija el $4$'th dígito a $0$, si desea $f_3(x) \le - \cos(\pi/4)$ elegir el $4$'th dígito a $3$.

Answer 2

Un ejemplo similar que usa más maquinaria, por lo tanto, tal vez sea menos complicado en los detalles: deje $X=[0,2\pi]$ , $f_n(t)=\cos(nt)$ Si $f_{n_k}(x)\to f(x)$ para (casi) cada $x$ entonces Dominio Convergencia muestra que $||f_{n_k}-f||_2\to0$ ; esto es imposible por ortogonalidad (por ejemplo, $||f_n-f_m||_2^2=2\pi$ .)