¿Necesito el axioma de elección para construir$\sqrt x$?

Question

Tuve una conferencia sobre axioma de elección, y la maestra dice que una propiedad equivalente es que surjective mapas son invertible a la derecha. Después, como ejemplo, hemos tenido la función de $\sqrt x$. El ejemplo va como sigue : $x\mapsto x^2$ es surjective $\mathbb R\to \mathbb R^+$. Estamos buscando función de $f:\mathbb R^+\to \mathbb R$ s.t. $f(x)^2=x$. Hay infinitamente muchos de dicha función, y no requieren la existencia axioma de elección. Estrictamente hablando, $x\mapsto \sqrt x$ es más bien un representante de la clase de la función $f$ s.t. $f(x)^2=x$ de una función

Pregunta : Para solucionar $x$, la ecuación de $y^2=x$ siempre ha $2$ soluciones. Vamos a denotar $A_x=\{y\mid y^2=x\}$. Deje $g(x)=\max A_x$. A continuación, $g(x)$ es realmente una función y no un representante. Por otra parte, no tenía la necesidad axioma de elección, ¿verdad ? Así que ¿por qué deberíamos ver una inversa como un representante de la clase en lugar de como una función ?

Answer 1

Podemos probar, sin el axioma de elección, que $A_x=\{y\in\Bbb R\mid y^2=x\}$ tiene más de $2$ elementos para cada $x\geq 0$.

Desde $\Bbb R$ es linealmente ordenado, hay un "mayor" y "menor" de estos dos elementos, de modo que podemos elegir a la más grande. El axioma de elección no es necesario.

Así, se podría decir, ¿qué pasa cuando queremos considerar $\Bbb C$ lugar? Ya no hay orden en $\Bbb C$, entonces ¿cómo hacemos eso? Bien. No hay fin de que sea compatible con el campo, pero hay un orden en el conjunto de $\Bbb C$ (por ejemplo, el orden lexicográfico), que se puede fijar y utilizar para tomar nuestras decisiones, por supuesto, hay algunos algebraicas problema hay con la elección de una raíz para $-1$, pero este es un adicional única elección que tenemos que hacer.

Esto funciona para cualquier $\sqrt[n]x$ función así, ya que existen en la mayoría de las $n$ raíces en $\Bbb R$.

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A tu otra pregunta, la elección de un representante que es de hecho una función. Es posible que no se detallarán en la fantasía fórmulas como $f(x)=x^2$ es dado. Pero es una función. Que es el punto entero de un representante, que es único para cualquiera de los dos objetos iguales (en este caso, cualquier conjunto de números con la misma plaza).

Supongo que quien dijo "representante" para que usted estaba tratando de señalar que este no es de alguna manera una opción única, y en cierta medida nos podría exigir también la raíz de la negativa de la raíz. Aunque hay algebraicas argumentos en contra de que (por ejemplo, usted no puede tomar a $\sqrt{\sqrt 4}$ desde $-\sqrt2$ no tiene una raíz real).

Answer 2

"Para arreglar x, la ecuación de $y^2=x$ siempre 2 soluciones.": No es cierto para $x = 0$. Este es el único defecto de la declaración.

Hay un defecto de menor importancia en el ejemplo de la elección de la señal de cada una preimagen de la función de raíz cuadrada. Como usted ha señalado, los elementos de la preimagen conjuntos son distintos y hay un finitely definibles función que selecciona un elemento de cada conjunto preimagen a ser la imagen de la función inversa.

Sin embargo, el ejemplo es útil en el que se describe un entorno natural en el cual usted tiene una colección infinita de conjuntos y de la necesidad de seleccionar un elemento de cada miembro de la colección. Sería mejor si pudiéramos hacer que estos preimages mentir en algún conjunto abstracto, de modo que usted no puede "colarse" otras cosas sabes acerca de $\mathbb{R}$, pero que puede ser demasiado abstracto para empezar con estas ideas.

Supongamos que para cada número real no es un conjunto de dos elementos y todos los conjuntos son disjuntos a pares. Se puede hacer un set que contiene un elemento de cada uno de los dos elementos y conjuntos? (A atacar de verdad esto, debemos tener claro cuáles son nuestras reglas para la creación de nuevos conjuntos de juegos viejos son. Esta es la razón por la que uno habla de AC en el contexto de un conjunto particular de la teoría, como ZF.) La versión corta es: Uno puede escribir una cadena de opciones para un número finito de conjuntos (literalmente escrito), pero no se puede escribir infinitamente largas cadenas de opciones, así que usted no puede hacer el set, o tener un nuevo axioma que le permite hacer ese conjunto. AC es un nuevo axioma que le permite hacer ese conjunto.

Hay varias elección de los axiomas de una adición a la AC. Dos bien estudiados son:

• El axioma de la dependiente de la elección es más débil que el de CA. Esto puede ser usado, por ejemplo, hacer una secuencia de puntos, uno de cada de una secuencia anidada de abrir los intervalos (por ejemplo, $\mathbb{R}$).
• El axioma de contables elección es más débil que el dependiente de la elección. Permite la selección de un elemento de cada conjunto en una contables colección de conjuntos, por lo que puede ser visto como el "limitado contables de las colecciones de" la versión de CA.

Todos estos nos permiten escribir infinitamente largas cadenas de opciones, con variaciones en cuanto a la duración, y si las opciones pueden ser interdependientes. Para el ejemplo anterior de la continuidad de muchas opciones sin interdependencia, podemos usar el axioma de elección restringida a las colecciones de tener cardinalidad no sea mayor que el de los reales. Esto es mucho más débil que la de CA completa. (Por ejemplo, esto no sería lo suficientemente fuerte como para elegir un elemento de cada conjunto en el powerset de $\mathbb{R}$.)