Encuentra a a -e-diferenciable con$f´\in L^1(0,1)$ pero no en$BV$ ...

Question

Aquí está una pregunta natural que yo no encuentro en Teoría de la Medida de los libros:

Construir una función continua $f(x)$ en $[0,1]$ con derivados en ae $x\in(0,1)$, y por lo que $f'(x)\in L^1(0,1)$, pero tal que $f$ no es de variación acotada.

La motivación sería el siguiente: Un conocido condición suficiente para la continuidad absoluta afirma que

si $f$ es continua, $f'(x)$ existe para todas las $x\in(0,1)$ excepto una contables conjunto, y $f'(x)\in L^1(0,1)$,, a continuación, $f$ es absolutamente continua (por lo tanto,$f\in BV$).

En este teorema, "contables conjunto" no puede ser reemplazado por "null conjunto", como el Cantor de la escalera de la muestra. Es este también el caso si sólo queremos $f\in BV(0,1)$?

Algunas observaciones acerca de temptative construcciones:

(i) el Cantor staicases sólo no iba a funcionar, ya que están aumentando, por lo tanto $BV$...

(ii) Volterra tipo de construcciones, que llenan el complemento de un conjunto de Cantor con bloques de $x^a \sin(x^{-b})$ no son buenas tampoco. Para los derivados de estos bloques en $L^1$ uno necesita $a>b$, pero luego de que los bloques están en $BV$, y probablemente también el resultado de la función...

Hay otros ejemplos naturales para realizar la prueba?

Answer 1

Me acaba de salir con un contraejemplo.

Uno produce una función similar a $x\sin(1/x)$ (que no es en $BV$), pero con la oscilación bloques de Cantor escaleras (de ahí continua y con $f'(x)=0$ ae).

Aquí están los detalles:

Llame a $h(x)$ el habitual Cantor de la escalera, es decir,$h:[0,1]\to[0,1]$, continua, creciente, sobre y con $h'(x)=0$ en casi todos los $x\in(0,1)$.

Siguiente, dilatar esta función a $h_n:[\frac1{n+1},\frac1n]\to [0,\frac1n]$ por $$ h_n(x)= \frac1n h\Big(\frac{x-\frac1{n+1}}{\frac1n-\frac1{n+1}}\Big),\quad \mbox{if $n$ odd}$$ o $$ h_n(x)= \frac1n h\Big(1-\frac{x-\frac1{n+1}}{\frac1n-\frac1{n+1}}\Big),\quad \mbox{if $n$ even.}$$ Por último, defina $f(x)=h_n(x)$ si $x\in [\frac1{n+1},\frac1n]$ e $f(0)=0$.

Es sencillo comprobar que $f\in C[0,1]$ e $f'(x)=0$ a.e. $x\in(0,1)$. Finalmente, $f\not\in BV[0,1]$ desde $$\sum_{n=1}^{2N}\big|f(\frac1n)-f(\frac1{n+1})\big|=\sum_{n=1}^N\frac1{2n+1}\to\infty,\quad \mbox{as }N\to\infty.$$

Answer 2

Esto no es posible.

Deje que$f$ sea como en sus suposiciones, y permita que$0 = t_0, < t_1 < \dots < t_N = 1$ sea dado. Luego para todos los$i\in \{1, \dots, N\}$,$f(t_{i} - f(t_{i-1}) = \int_{t_{i-1}}^{t_i} f'(s) ds$. Se deduce que $$ \ sum_ {i = 1} ^ N | f (t_i) - f (t_ {i-1}) | = \ sum_ {i = 1} ^ N | \ int_ {t_ {i-1}} ^ {t_i} f '(s) ds | \ le \ sum_ {i = 1} ^ N \ int_ {t_ {i-1}} ^ {t_i} | f '(s) | ds = \ int_0 ^ 1 | f '(s) | ds $$ y por lo tanto la función tiene variación acotada.