¿Cuál es el espacio de funciones suaves en L ^ 2 (R)?

Question

Quizás esta pregunta no sea apropiada aquí.

Sean R los números reales y L ^ 2 (R) las funciones integrables cuadradas, ¿cuál es el espacio de funciones suaves en L ^ 2 (R)?

Edit: Perdón por la ambigüedad. Consideremos la siguiente pregunta. V sea las funciones suaves en L ^ 2, y sea V 'el cierre del subespacio generado por f (x) -f (xc) donde f pertenece a V y c es cualquier número real. Ahora la pregunta que quiero saber es ¿cuál es el cociente de V módulo por V '?

Answer 1

$V'$ es de hecho denso en$L^2$. Tomando las transformadas de Fourier, tenga en cuenta que cualquier función medible acotada con soporte compacto es la transformada de Fourier de una función en$V$. Y la transformada de Fourier de$f(x)-f(x-c)$ es$(1-e^{c\xi})\hat f(\xi)$. Para el factor decisivo, tenga en cuenta que el espacio de funciones medibles acotadas con soporte compacto contenido en el complemento de$(2\pi/n)\mathbb{Z}$ es denso en$L^2$. (Ajuste los signos y factores$2\pi$ de acuerdo a su gusto en las convenciones de la transformada de Fourier).

Answer 2

N. B. esta respuesta fue en respuesta a una versión anterior de la pregunta, que sólo tenía los dos primeros párrafos, por lo tanto, no se refiere a lo que parece haber sido el original del cartel real de que se trate. Para que, véanse las respuestas de Leonid o Harald.

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No estoy seguro de si esto responde tu pregunta, pero podría ser vale la pena destacar que una función medible $f$ sobre la recta real es de $L^2({\mathbb R})$ si y sólo si su transformada de Fourier $\widehat{f}$ es (teorema de Plancherel), mientras que es en $C^\infty({\mathbb R})$ si y sólo si tenemos

$$ \int_{-\infty}^\infty | \widehat{f}(x) |^2 (1+ |x|^2)^{k} < \infty \quad{\rm for }\ k=1,2,\dots $$

(esta es una forma de Sobolev de incrustación, aunque en un caso muy especial). En particular, si he entendido correctamente la notación de la página de wikipedia para espacios de Sobolev, el espacio después de que parece ser la intersección $\bigcap_{k=0}^\infty H^k({\mathbb R})$. No sé si esto va por un nombre en particular.