Evaluación de la integral $\int \frac{x^2+x}{(e^x+x+1)^2}dx$

Question

Evalúe $$\int \frac{x^2+x}{(e^x+x+1)^2}dx$$

He intentado hacer la conversión en la forma de la regla del cociente (viendo el cuadrado en el denominador), pero tampoco soy capaz de hacer la derivada de los denominadores en el numerador. Alguna pista sería genial. Gracias.

Answer 1

Se puede observar que $$ \begin{align} \left(\frac{x+1}{e^x+x+1}\right)'&=\frac{1 \times(e^x+x+1)-(x+1)(e^x+1)}{(e^x+x+1)^2} \\\\&=\frac{(e^x+x+1)-(x+1)(e^x+x+1)+x(x+1)}{(e^x+x+1)^2} \\\\&=\frac{-x(e^x+x+1)}{(e^x+x+1)^2}+\frac{x^2+x}{(e^x+x+1)^2} \\\\&=\frac{\left((e^x+x+1)'-(e^x+x+1)\right)(e^x+x+1)}{(e^x+x+1)^2}+\frac{x^2+x}{(e^x+x+1)^2} \\\\&=\frac{(e^x+x+1)'}{(e^x+x+1)}-1+\frac{x^2+x}{(e^x+x+1)^2} \end{align} $$ dando

$$ \int \frac{x^2+x}{(e^x+x+1)^2}dx=x-\ln\left|e^x+x+1\right|+\frac{x+1}{e^x+x+1}+C $$

para cualquier constante $C$ .

Answer 2

Sea $\displaystyle u=\frac{x^2+x}{xe^x}=(x+1)e^{-x}$ y $\displaystyle dv=\frac{xe^x}{(e^x+x+1)^2}dx,\;$ así que $\displaystyle du=-xe^{-x}dx$ y $\displaystyle v=\frac{e^x}{e^x+x+1}$ .

Entonces $\displaystyle\int\frac{x^2+x}{(e^x+x+1)^2}dx=(x+1)e^{-x}\cdot\frac{e^x}{e^x+x+1}-\int-\frac{x}{e^x+x+1}dx=\frac{x+1}{e^x+x+1}+\int\frac{x}{e^x+x+1}dx$

$\displaystyle\hspace{.2 in}=\frac{x+1}{e^x+x+1}+\int\frac{e^x+x+1}{e^x+x+1}dx-\int\frac{e^x+1}{e^x+x+1}dx=\frac{x+1}{e^x+x+1}+x-\ln\big|e^x+x+1\big|+C$