$\int_{0}^{\infty} f(x) \,dx$ existe. Entonces,$\lim_{x\rightarrow \infty} f(x) $ debe existir y es$0$. ¿Una prueba rigurosa?

Question

Deje $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R $ ser una función continua tal que $\int_{0}^{\infty} \,f(x) dx$ existe.

Entonces Demostrar que encajona

(i) $f$ no es una función negativa, a continuación, $\lim_{x\rightarrow \infty} f(x) $ debe existir y es $0$.

(ii) $f$ es positivo función derivable , $\lim_{x\rightarrow \infty} f'(x) $ debe existir y es $0$

$Attempt$: Para la primera parte, no tengo una rigurosa prueba, excepto por el hecho de que la condición dada se pueden visualizar geométricamente. Desde entonces, la integral definida es en realidad la de calcular el área bajo el no negativo de la función, la única manera de que el límite dado puede existir cuando el límite de f(x) tiende a 0 en el infinito.

Por favor me dan una dirección para que yo pueda hacer esta prueba lo suficientemente riguroso.

Para la segunda parte, me di un ejemplo. Sabemos que ( dejando de lado el finito de integración de partes de $0$ a $1$ ..) $\int_{1}^{\infty} e^{-x^2} dx \leq \int_{1}^{\infty} e^{-x} dx$ y el último converge. Pero la derivada de $e^{-x^2} = (-2x)e^{-x^2}$ cuya integración no existe cuando x $\in~[1,\infty)$ ya que es una forma monotónica después de un número finito de $x$.

Cualquier ayuda en la prestación de rigor a la anterior prueba va a ser muy útil

Gracias

Answer 1

(i) No es cierto. Deje$g(x)=\max\{1-|x|,0\}$ que es continuo, no negativo y distinto de cero en$(-1,1)$, con$\int g=1$, y establezca $$ f (x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty g (2 ^ nx-n). $$ Luego$f$ es continuo,$f\ge 0$,$\int_{\mathbb R} f=1$ y$\limsup_{x\to\infty} f(x)=1$.

(ii) Tampoco es cierto. Tome $$ g (x) = \ left \ {\begin{array}{lll} \exp(1/(1-x^2)) &\text{if} & |x|<1, \\ 0 & \text{otherwise}. \end {array} \ right. $$ Establecer como antes$f(x)=\sum_{n=1}^\infty g(2^nx-n)$.

Luego$f$ es$C^\infty$,$f\ge 0$,$\int f<\infty$ y$\limsup_{x\to\infty}f'(x)>0$.

Answer 2

Esto es falso, el límite no existe. Considerar la infinita suma de $1/n^2$, y tomar una función característica de los picos en intervalos de longitud de $1/n^2$, cero en caso contrario. Esta integral, igual a $\sum 1/n^2$, converge, pero el límite no existe, ni siquiera en un casi-en todo sentido. Lo que creo que quieres decir es que una función en $L^1$ desaparece en el infinito, es decir, que para todos los $\varepsilon>0$, $\mathcal{L}^n\{|f(x)|>\varepsilon\}$ es finito. Si el límite de $f(x)$ no existe, entonces es cero.

La condición de que $f(x)\rightarrow 0$ as $x\rightarrow \infty$ es ni necesaria ni suficiente de la condición de integrabilidad. El ejemplo clásico es $1/x$.