Un problema de ambulancia implica la suma de dos variables aleatorias uniformes independientes

Question

Una ambulancia viaja de un lado a otro a velocidad constante por una carretera de longitud $L$ . En un momento determinado del tiempo, se produce un accidente en un punto distribuido uniformemente en la carretera [es decir, la distancia del punto a uno de los extremos fijos de la carretera se distribuye uniformemente sobre ( $0$ , $L$ ).] Suponiendo que la ubicación de la ambulancia en el momento del accidente también está uniformemente distribuida, y asumiendo la independencia de las variables, calcula la distribución de la distancia de la ambulancia al accidente.

Esto es lo que tengo hasta ahora:

$X$ = punto donde se produjo el accidente

$Y$ = ubicación de la ambulancia en este momento.

$D = |X-Y|$ representa la distancia entre el accidente y la ambulancia

$P(D \leq d) = $$ \f(x,y) dx dy$

donde $C$ es el conjunto de puntos donde $|X-Y| \leq d$

Tengo problemas para configurar el límite de la integral. Se agradecería mucho si alguien puede subir una imagen del área de integración.

Answer 1

He aquí un esbozo de la región de integración:

El $x$ y $y$ ejes va entre $0$ y $L$ . La región "sombreada" (a falta de una palabra mejor) representa los $X$ y $Y$ tal que $|X-Y| \le d$ .

La región de integración está dividida en 3 partes, que espero que puedas ver en este diagrama ciertamente tosco:

$$P(|X-Y| \le d) = \frac{1}{L^2} \left [\int_0^d dx \: \int_0^{d+x} dy + \int_d^{L-d} dx \: \int_{-d+x}^{d+x} dy + \int_{L-d}^{L} dx \: \int_{-d+x}^{L} dy \right ]$$

Para que puedas comprobarlo, el resultado que obtengo es

$$P(|X-Y| \le d) = \frac{d}{L} \left ( 2 - \frac{d}{L} \right)$$

También se puede ver por la diferencia entre el área de toda la región menos el área de los 2 triángulos rectos fuera de la región "sombreada".

Answer 2

Hacemos algo mucho mejor que subir. Toma una hoja de papel, dibuja los ejes habituales. Pueden ser bajos y a la izquierda, ya que sólo utilizaremos parte del primer cuadrante.

Dibuja el cuadrado con esquinas $(0,0)$ , $(L,0)$ , $(L,L)$ y $(0,L)$ . La pareja $(X,Y)$ viven en esta plaza. La densidad conjunta es constante en ese cuadrado, por lo que es $\frac{1}{L^2}$ en la plaza y $0$ en otro lugar.

Ahora, para los pequeños $d$ , dibujar las líneas $y=x-d$ y $y=x+d$ . La parte del cuadrado entre estas líneas es lo que llamó $C$ .

Pero vamos a terminar el problema. La probabilidad de que $D\le d$ es el zona de $C$ dividido por el área $L^2$ de toda la plaza.

La región $C$ es un poco feo, pero el descanso del cuadrado está formado por dos bonitos triángulos, que encajan para formar un cuadrado. Es fácil encontrar el lado de ese cuadrado.