Extensión de un mapa cociente a un mapa de cobertura en $\mathbb{RP}^2$

Question

¿Por qué no podemos extender el mapa de cociente $q:[0,1]\times[0,1] \to \mathbb{RP}^2$ a un mapa de cobertura, $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{RP}^2$ ?

Answer 1

Recordemos que el mapa $f:S^2\to \mathbb{RP}^2$ que identifica los puntos antípodas es una cobertura, y que $S^2$ es de conexión simple, por lo que $S^2$ es la cubierta universal de $\mathbb{RP}^2$ . Si tuviéramos una cubierta $p:\mathbb R^2\to \mathbb{RP}^2$ entonces desde $\mathbb R^2$ también es simplemente conectado también sería una cubierta universal de $\mathbb{RP}^2$ . Dado que las cubiertas universales son únicas hasta el homeomorfismo, esto implica que $S^2$ es homeomorfo a $\mathbb R^2$ que es falso (por ejemplo, porque $S^2$ es compacto mientras que $\mathbb R^2$ no lo es). Por lo tanto, no hay tal cobertura $p:\mathbb R^2\to \mathbb{RP}^2$ puede existir.

Answer 2

Supongo que $q$ es el mapa que identifica $(0,y)$ con $(1,1-y)$ y $(x,0)$ con $(1-x,1)$ . Alicatando el plano con cuadrados y extendiendo el mapa cociente mediante reflexiones se obtiene un mapa $\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{RP}^2$ pero no es un mapa de cobertura: nótese que un pequeño disco alrededor de un punto en una de las aristas del cuadrado se convierte en medio disco, y alrededor de uno de los vértices en un cuarto de disco; por tanto, el mapa no es localmente un homeomorfismo.

EDITAR: Una idea más sutil (que, una vez pensada, estaba en el fondo de mi cabeza molestándome un poco hasta que me he sentado a pensar en ella esta noche) sería ampliar $q$ utilizando reflejos de deslizamiento. Esto se acerca más a un mapa de cobertura, pero sigue siendo ramificado en las esquinas del cuadrado. Por ejemplo $(0,y)$ tiene la misma imagen que $(1,1+y)$ que tiene la misma imagen que $(0,2-y)$ Así que al considerar lo que sucede como $y\to 1$ vemos que esta forma de extender el mapa es 2 a 1 en el $y$ -en una zona de $(0,1)$ .

EDITAR: La respuesta de Olivier Begassat a esta pregunta me aclara la situación. En esta última construcción, $\mathbb{RP}^2$ se realiza como el cociente de $\mathbb{R}^2$ por el grupo de isometrías generadas por las reflexiones de deslizamiento unitarias en las líneas $y=1/2, x=1/2$ ; llámalos $\nu,\rho$ respectivamente. Este grupo contiene rotaciones sobre las esquinas de los cuadrados, es decir, los puntos enteros de la red de $\mathbb{R}^2$ ; por ejemplo, $\rho^{-1}\nu$ es la rotación de 180 grados alrededor del origen. Así, el mapa cociente identifica los puntos que son simétricos respecto a los puntos enteros de la red. En particular, es 2 a 1 en vecindades pequeñas de estos puntos.