$\def\∆{\mathord{∆}}\def\d{\mathrm{d}}\def\vec{\boldsymbol}$Usando coordenadas polares, $g(θ) = \sin(kθ) \in C([0, 2π])$, por lo tanto la solución de la ecuación$$
\begin{cases}
-\∆u = 0, \quad x \in D^\circ\\
u|_{∂D} = g
\end{casos}
$$
satisface $u \in C(D) \cap C^∞(D^\circ)$ e\begin{align*}
u(r, θ) &= \frac{1}{2π} \int_{-π}^π \frac{1 - r^2}{1 + r^2 - 2r \cos(α - θ)}g(α) \,\d α\\
&= \frac{1}{2π} \int_{-π}^π \frac{1 - r^2}{1 + r^2 - 2r \cos(α - θ)} \sin(kα) \,\d α.
\end{align*}
A continuación, se demostró que esta $u \in \mathscr{E}$ minimiza $\displaystyle J(v) = \int_D |∇u|^2 \,\d x$ en $\mathscr{E}$. Para cualquier fija $v \in \mathscr{E}$, denotan $φ = v - u$. Tenga en cuenta que $u + tφ \in \mathscr{E}$ cualquier $t \in \mathbb{R}$. Definir $j(t) = J(u + tφ)$ para $t \in \mathbb{R}$, luego de$$
j'(t) = \int\limits_D \frac{\d}{\d t} \bigl(∇(u + tφ) · ∇(u + tφ)\bigr) \,\d x = 2 \int\limits_D ∇(u + tφ) · ∇φ \,\d x,\\
j"(t) = 2 \int\limits_D \frac{\d}{\d t} \bigl( ∇(u + tφ) · ∇φ \bigr) \,\d x = \int\limits_D |∇φ|^2 \,\d x \geqslant 0.
$$
Tenga en cuenta que $u|_{∂D} = v|_{∂D} = g$ implica $φ|_{∂D} = 0$, e $\∆ u = 0$ a $D^\circ$, por lo tanto\begin{align*}
\frac{1}{2} j'(0) &= \int\limits_D ∇u · ∇φ \,\d x = \int\limits_{∂D} φ∇u · \vec{n} \,\d s - \int\limits_D φ\∆ u \,\d x = 0,
\end{align*}
lo que implica $J(v) = j(1) \geqslant j(0) = J(u)$. Por lo tanto, $u$ minimiza $J$. Finalmente,\begin{align*}
J(u) &= \int\limits_D |∇u|^2 \,\d x = \int\limits_{∂D} u∇u · \vec{n} \,\d s - \int\limits_D u\∆ u \,\d x\\
&= \int\limits_{∂D} g\frac{∂u}{∂\vec{n}} \,\d s = \int\limits_{∂D} \left. g\frac{∂u}{∂r} \right|_{r = 1} \,\d s = \int_{-π}^π \sin(kα) · \frac{∂u}{∂r}(1, α) \,\d α.
\end{align*}
Ahora para este particular,$g(θ) = \sin(kθ)$, después de la resolución de $u$ para las pequeñas $k$, la solución general de la $k$ se puede adivinar como $u(r, θ) = r^k \sin(kθ)$. Para comprobar esto, tenga en cuenta que en coordenadas polares,$$
\∆ = \frac{∂}{∂r^2} + \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} + \frac{1}{r^2} \frac{∂^2}{∂ θ^2},
$$
por lo tanto\begin{align*}
\∆ u(r, θ) &= \frac{∂}{∂r^2}(r^k \sin(kθ)) + \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r}(r^k \sin(kθ)) + \frac{1}{r^2} \frac{∂^2}{∂ θ^2}(r^k \sin(kθ))\\
&= k(k - 1) r^{k - 2} \sin(kθ) + \frac{1}{r} · k r^{k - 1} \sin(kθ) - \frac{1}{r^2} · r^k k^2\sin(kθ) = 0.
\end{align*}
Por lo tanto,$$
J(u) = \int_{-q}^π \sin(ka) · \frac{∂u}{∂r}(1, α) \,\d α = \int_{-q}^π \sin(ka) · k\sin(ka) \,\d α = kn.
$$
