Continuidad y Supremum

Question

Intento:

Parece que no puedo medir los puntos de continuidad, para alcanzar las partes supremas, sé que necesito usar el hecho de que una función continua en un intervalo cerrado y acotado está delimitada y alcanza su sup / inf.

Cualquier ayuda será apreciada, gracias.

Answer 1

Primera nota, que $g(x)$ es continua en $x\neq n\pi$ debido a que para cada una de las $x\neq n\pi$ existe un intervalo abierto alrededor de $x$ donde $g$ tiene la forma $g(x)=\sqrt{|x|}\sin\left(\frac 1{\sin(x)}\right)$ (el conjunto de $\mathbb R \setminus \{n\pi:n\in\mathbb Z\}$ es abierto). Cualquier concatenación de funciones continuas también es continua, de modo que $g$ es continua en este intervalo abierto y por lo tanto también en $x$.

Ahora tome $x=0$. Tenemos $\lim_{a\to0}\sqrt{|a|}=0$ e lo $\lim_{x\to0}\sqrt{|x|}\sin\left(\frac 1{\sin(x)}\right)=0$ debido a que la función seno es acotada. Por lo $g$ es continua en $x=0$.

Tome $x=n\pi$ con $n\neq 0$. Ha $\lim_{x\nearrow n\pi} \frac{1}{\sin(x)}$ o se $+\infty$ o $-\infty$. Por lo tanto $\lim_{x\nearrow n\pi} \sin\left(\frac{1}{\sin(x)}\right)$ no existe. Debido a $x\mapsto \sqrt{|x|}$ es continua, también se $\lim_{x\nearrow n\pi} \sqrt{|x|}\sin\left(\frac{1}{\sin(x)}\right)$ no existe a partir de la cual se desprende que $g$ no es continua en $x=n\pi$ para $n\neq 0$.

Actualización: Nota de los siguientes:

• $x\mapsto \sqrt{|x|}$ alcanza su supremum en $[0,\pi]$ a $x=\pi$.
• $\sin\left(\frac{1}{\sin(x)}\right)$ alcanza cada valor entre -1 y 1 infinitamente a menudo como $x\nearrow\pi$

De ambas declaraciones se puede demostrar que $g(x)$ no logran su supremum o infimum ($\pm \sqrt{\pi}$) en $[0,\pi]$.