Encuentra$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\ln (\cos x)}{x\sqrt {1 + x} - x} \right)$ eficientemente

Question

Necesito evaluar:
PS

Ahora, me parecía un caso de regla clásico de L'Hôpital . De hecho, lo usé (dos veces), pero luego las cosas se complicaron.

¿Me falta el punto de este ejercicio? Quiero decir, debe haber una manera "más agradable". ¿O debería seguir con este camino?

EDITAR:

Respecto a la respuesta de Yiorgos: ¿Por qué es verdad lo siguiente? PS

Answer 1

Consejos.

YO. $\ln \cos x\approx \ln \Big(1-\frac{x^2}{2}\Big)\approx -\frac{x^2}{2}$

II. PS

Answer 2

Multiplica el numerador y el denominador por$(\sqrt{1-x}+1).$ Luego usa la Regla de L'Hospital.

Answer 3

Usando eso (vea http://www.math24.net/infinitesimals.html )

$$ \ lim_ {x \ to 0} {\ ln \ cos x \ over \ cos x - 1} = 1 \ qquad {\ rm and} \ qquad \ lim_ {x \ to 0} {\ cos x - 1 \ sobre -x ^ 2/2} = 1, $$ tenemos: $$ \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ ln (\ cos x)} {x \ sqrt {1 + x} -x} = \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ cos x - 1} {x \ sqrt {1 + x} -x} = \ lim_ {x \ to 0} \ frac {-x ^ 2/2} {x \ sqrt {1 + x} -x} = \ cdots $$

Answer 4

Por l'Hopital:$\lim_{x\rightarrow 0}(.)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-tan(x)}{\frac{x}{2\sqrt{1+x}}+\sqrt{1+x}-1}$

Con un segundo l'Hopital:

$=\lim_{x\rightarrow 0}(.)\frac{-sec^2(x)}{\frac{3x+4}{4(x+1)^{3/2}}}=-1$

Answer 5

Un truco que puede utilizar para límites difíciles como este es expandir la función completa. En este caso, es bastante desagradable, pero terminas con el resultado de:$$\lim_{x\rightarrow0}(-1 - \frac{x}{4} + O(x^2))$ $ Dado que esta expansión es igual a la función original, está claro de inmediato que el límite a medida que se acerca a 0 es -1.