La luminosidad $P$ de Kerr-Newman agujero negro con cargo $Q$ y del momento angular $J$ está dado por \begin{equation} P = \frac{1}{240} \frac{\hbar c^6 \left( 1 -\frac{Q^2 }{ 4 \pi \epsilon_0 G M^2} -\left( \frac{J c}{M^2 G} \right)^2\right)^2 }{ \pi G^2 M^2 \left( 2 +2 \sqrt{ 1 - \frac{Q^2 }{ 4 \pi \epsilon_0 G M^2} - \left( \frac{J c}{M^2 G} \right)^2 }-\frac{Q^2 }{ 4 \pi \epsilon_0 G M} \right)^3}. \end{equation} Para un agujero negro de Schwarzschild, nos pusimos $Q = 0$ e $J = 0$: \begin{equation} P = \frac{\hbar c^6}{15360 \pi G^2 M^2}. \end{equation} Por otra parte, a través de la masa-energía de equivalencia, $P$ da la tasa de $\dot{E}$ a la cual la energía es irradiada en partículas de masa $m$ (aquí se supone que todas las partículas creadas tienen masa $m$): \begin{align} P & = \frac{dE}{dt} \\ & = \frac{d}{dt} \frac{Nmc^{2}}{\sqrt{1-\beta^2}}, \end{align} donde $N$ es el número de partículas creado. Dado que el $N \propto A$ (y en vez de $N \propto M^2$), podemos escribir \begin{equation} N = kA = 16\pi k \frac{G^{2}M^{2}}{c^{4}}, \end{equation} donde $k$ es arbitraria constante de proporcionalidad. Por lo tanto, \begin{align} P & = 16\pi k \frac{G^{2}M^{2}}{c^{4}} mc^{2} \frac{v}{\left ( 1 - \beta^2 \right )^{3/2}} \frac{dv}{dt} \\ \frac{\hbar c^8}{245 760 \pi^2 k m G^4 M^4} & = \frac{v}{\left ( 1 - \beta^2 \right )^{3/2}} \frac{dv}{dt}. \end{align} Es claro que a medida que $M \rightarrow 0$, $\beta^2 \rightarrow 1$ y, por tanto,$v \rightarrow c$. ¿Por qué?
Tenga en cuenta que el tiempo de evaporación $t_{ev}$ $$t_{ev} = \frac{5120\pi G^2M_{0}^3}{\hbar c^4}$$ is finite. Given enough time, $M_{0}$ is radiated away in its entirety. But this would mean that the black hole would produce massive radiation with $v = c$, which is prohibited. If photons were emitted, then $\lambda \rightarrow 0$, lo cual es absurdo. ¿Este problema tiene que ver con el hecho de que no sabemos cómo radiación de Hawking sería su comportamiento en la escala de Planck. Deberíamos esperar que haya un límite inferior de la masa de los agujeros negros en una teoría cuántica de la gravedad?
