¿Qué mide exactamente un acelerómetro angular y cómo se puede obtener una rotación SO (3) a partir de dichas mediciones?

Question

tl;dr

Si uno tiene un angular acelerómetro, ¿cuál es el movimiento que se mide realmente?

Si tenemos un perfecto (es decir, libre de ruido, libre de errores, perfectamente alineados, ...) 3-eje angular acelerómetro, dado las oportunas condiciones iniciales, ¿cómo se obtiene un SO(3) la rotación de la (doble) la integración de dichas medidas?

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Antecedentes y Detalles

Si uno fuera a abrir prácticamente cualquier sistema inercial de navegación de libros de texto, se describirá una velocidad angular sensor de medición de ${\omega}_{ib}^{b}$ - es decir, la velocidad angular del cuerpo con respecto al marco inercial, resuelto en el armazón del cuerpo de los ejes.

Uno puede obtener un SO(3) matriz de rotación de dicho gyro medidas con la bien conocida ecuación diferencial:

$\mathbf{\dot{R} }_b^i = \mathbf{R}_b^i [{\omega}_{ib}^{b}]_\times$

donde $\mathbf{R}_b^i$ es la rotación del bastidor del cuerpo al marco inercial y $[{\omega}_{ib}^{b}]_\times$ es un sesgo de simetría de la matriz construida a partir de la giróscopo de las mediciones. La ecuación diferencial tiene un conocido de la solución para la constante de velocidad angular durante un intervalo de muestreo:

$\mathbf{R}_{b(k+1)}^i = \mathbf{R}_{b(k)}^i \operatorname{expm}(\Delta t [{\omega}_{ib}^{b}]_\times)$

Utilizando notación similar, ¿cuál sería la cantidad que un angular acelerómetro medidas (por ejemplo, dispositivo de ejemplo)? Cómo hacer tales mediciones se refieren a la velocidad angular de las mediciones? ¿Cómo se podía resolver este (presumiblemente) la ecuación diferencial para obtener la velocidad angular y una matriz de rotación?

Tenga en cuenta que esto no pretende ser una discusión sobre la viabilidad de una solución de este tipo - los problemas son bien conocidos (por ejemplo, véase p38 de Lawrence).

(Nota para los moderadores: angular, la aceleración sería ideal para una etiqueta para la pregunta, pero por desgracia no hay tal etiqueta existe)

Answer 1

¿Cuál es el Sensor de Detección?

Después de pensar un poco, he aquí una conjetura en cuanto a lo que es acontecimiento.

La manera más obvia para medir la aceleración angular es una forma de forma análoga con aceleración lineal por muchos de los acelerómetros - a través de las tensiones de un cambio de estado de movimiento induce en una masa de ensayo / inercia - y es una apuesta bastante buena de que al menos algunos de los acelerómetros angulares trabajar de esta manera.

Sin embargo, el estrés no siempre son proporcionales a la aceleración angular, en contraste con un acelerómetro lineal, en donde la masa de ensayo tensiones son directamente proporcional a la aceleración lineal. Podemos, sin embargo, con el derecho de simetría del sensor, organizar la aceleración angular a ser proporcional a la tensión.

He esbozado la idea de un dispositivo de este tipo anteriormente. La prueba de inercia es una pesada buje que es de manga sobre un eje, y el cambio en el buje del estado de movimiento requiere un par de torsión se transmite desde el eje interior. Se podría construir un sensor sensible a la par componente a lo largo del eje del eje, por ejemplo, los sensores de estrés en el rostro de una llave / cerradura que impide el movimiento relativo entre el buje y el eje.

Debido a que el eje de la componente está cambiando, necesitamos tener en cuenta para la rotación de marco de referencia a través de, por ejemplo, las ecuaciones de Euler. Nos encargaremos de el eje en el dibujo de arriba a lo largo de uno de los ejes principales de inercia del casquillo (como de hecho lo es en el dibujo). Con $I$ el tensor de inercia, el nett par motor en el buje es:

$$\tau = I\,\dot{\omega} + \omega\times (I\,\omega)\tag{1}$$

de modo que la componente de torque a lo largo de la sensación del eje es:

$$\tau_z = I_{zz}\,\dot{\omega_z} + (I_{yy}-I_{xx})\,\omega_x\,\omega_z\tag{2}$$

cual es el motivo de mi comentario de que el estrés no siempre están en proporción a la aceleración angular. Sin embargo, si nos encargamos de la prueba de buje para ser rotacionalmente simétrica sobre el eje sensible (como en el dibujo), a continuación,$I_{yy}=I_{xx}$, por lo que (2) se convierte en el conveniente ecuación:

$$\tau_z = I_{zz}\,\dot{\omega_z}$$

de modo que la salida del sensor, de hecho es proporcional a la componente de la velocidad de cambio de la $\omega$ en la sensación de la dirección.

Pero, por supuesto, la sensación de los ejes es el cambio de dirección, por lo que tenemos que transformar la anterior a la no-inercial de coordenadas antes de la integración a la matriz de rotación.

La integración a la Matriz de Rotación

A continuación (cuando he trabajado mi confusión en el correspondiente marco de las transformaciones)