es un entero.

Question

El problema es el siguiente:

Demuestre que este número$$x = \left(45+29\sqrt{2}\right)^{1/3} + \left(45-29\sqrt{2}\right)^{1/3} es un número entero. Muestra qué número entero es.

Pensé que tiene algunas relaciones con números como números complejos como el conjunto$N(\sqrt{2})$ o algún tipo de polinomio entero que tiene la raíz$x$ y, por lo tanto, muestra que tiene soluciones enteras.

Answer 1

Sugerencia : encuentre$a>0$ y$b>0$ de manera que $$(a + b \ sqrt {2}) ^ 3 = 45 +29 \ sqrt {2}, \ quad (ab \ sqrt {2}) ^ 3 = 45-29 \ sqrt {2}. \ Tag {$*$}$$ Muestre que esto implica$a^3+6ab^2=45$ y$a^2-2b^2=7$. A partir de esto, puede encontrar$a$ y$b$ y su respuesta es$2a$. (Sugerencia adicional: considere$(a^3+6ab^2)+3a(a^2-2b^2)=45+21a)$.)

Se podría argumentar que este enfoque no es riguroso, pero en realidad lo es , porque una vez que tiene$a$ y$b$, puede verificar que ($*$) funciona conectándose directamente.

Answer 2

Deje$u=\sqrt[3]{45+29\sqrt2}$ y$v=\sqrt[3]{45-29\sqrt2}$; asi que, $x=u+v$. Tenemos $$u ^ 3 + v ^ 3 = 90, \\ uv = \ sqrt [3] {45 +29 \ sqrt2} \ cdot \ sqrt [3] {45-29 \ sqrt2} = \ sqrt [3] {45 ^ 2-29 ^ 2 \ cdot2} = \ sqrt [3] {343} = 7$$ Pero $$u ^ 3 + v ^ 3 = (u + v) (u ^ 2 - uv + v ^ 2 ) = (u + v) ((u + v) ^ 2 - 3uv),$$ y $$90 = x (x ^ 2 - 21).$$ Dado que$x$ debe ser entero, verifique los divisores de$90$. $x^2 - 21 > 0$, asi que $x \ge 5$. Intente$x=6$: $$90 = 6 (6 ^ 2-21) = 6 \ cdot 15.$$

Answer 3

Dada la sugerencia de que $(45+29\sqrt{2})^{1/3} + (45-29\sqrt{2})^{1/3}$ es un número entero.
Primero se debe investigar si $$(45 + 29\sqrt{2})^{1/3} = a + b\sqrt{2}$$ para algunos enteros $a, b$. Aviso de $$(a+b\sqrt{2})^3 = a ( a^2 + 6 b^2 ) + (3a^2 + 2b^2)b\sqrt{2}$$ Esto nos sugiere buscar entero de soluciones de la siguiente ecuación:

$$\begin{cases} a( a^2 + 6b^2) &= 45\\ b(3a^2 + 2b^2) &= 29 \end{casos}$$ Desde $b | 29$ e $29$ es un número primo, el más natural, supongo que es $b = 1$. Sustituto $b = 1$ en la segunda ecuación, encontramos $a = \sqrt{\frac{29 - 2}{3}} = 3$ que también resuelva la primera ecuación. Esto lleva a

$$(45+29\sqrt{2})^{1/3} = 3 + \sqrt{2} \implica (45-29\sqrt{2})^{1/3} = 3 - \sqrt{2}\\ \implica (45+29\sqrt{2})^{1/3} + (45-29\sqrt{2})^{1/3} = 6$$

Answer 4

Deje que$a,b$ sea el primer y segundo término de la suma y luego$x = a+b$. Observa eso: $ab = 7 \to x^3 = (a+b)^3 = a^3+b^3 + 3ab(a+b)=90+3\times 7\times x \to x^3-21x-90 = 0\to (x-6)(x^2+6x+15)=0\to (x-6)((x+3)^2+6)=0\to x = 6.$