Mostrando ese$\Gamma(x)\Gamma(y) = \Gamma(x+y)\beta(x,y)$ a través del cambio de variable

Question

Desde$$\Gamma(x)\Gamma(y)=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1} \left( \int_0^\infty e^{-t} s^{y-1} ds \right) dt,$$ use a change of variable $ s = ut $ para mostrar$$\Gamma(x)\Gamma(y)=\Gamma(x+y)\beta(x,y).$ $

Deje$s=ut$ para$ds = udt + tdu$ y luego

\begin{align*} \Gamma(x)\Gamma(y) &=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1} \left( \int_0^\infty e^{-s} s^{y-1} ds \right) dt \\ &= \int_0^\infty e^{-t} t^{x-1} \left( \int_0^{\infty} e^{-ut} (ut)^{y-1}(udt+tdu)\right)dt \\ &= \int_0^\infty e^{-t} t^{x-1} \left( \int_0^{\infty} (e^{-ut} u^y t^{y-1})dt+ \int_0^{\infty} (e^{-ut}u^{y-1}t^y)du\right)dt \\ \end {align *} Mi siguiente idea fue usar la integración por partes, pero eso no se realizó. ¿Alguna sugerencia?

Tenga en cuenta que la función Gamma para$x>0$ definimos:$$\Gamma(x):=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt.$ $

Y para la función Beta para$x>0$,$y>0$, definimos$$\beta(x,y):=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt.$ $

Answer 1

Sugerencia: pruebe la sustitución$s+t=\alpha$ y$t=\alpha \gamma $ para que$s=\alpha(1-\gamma)$ y$ds \, dt = \alpha d \alpha \, d \gamma$.