Condiciones en las que el Límite de la "Medida $\to 0$ " es $0$ [más difícil]

Question

Dejemos que $\mu$ sea una medida de probabilidad sobre $X$ para que $\int_X \mu(dx) = 1$ .

En Condiciones en las que el Límite de la "Medida $\to 0$ " es $0$ se demuestra que $f: X \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ garantías medibles e integrables $\lim_{\mu(A) \rightarrow 0 } \int_A f(x) \mu(dx) = 0$

Ahora dejemos que $g: \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \times \mathbb{R}^n \times X \rightarrow \mathbb{R}_{> 0}$ ser continua en el primer argumento, localmente acotada en el segundo, localmente acotada y medible en el tercero.

Además $\forall z \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ $\quad x \mapsto g(z,z,x)$ es integrable.

Me gustaría decir que $\exists \delta > 0$ tal que para la familia

$$\mathcal{F} \doteq \left\{ g(z,y,x) \mid \ y \in \mathbb{B}(z,\delta) \right\}$$

tenemos el siguiente hecho:

$$\forall z \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \qquad \sup_{h \in \mathcal{F}} \ \lim_{\mu(A) \rightarrow 0} \ \int_{A} h(z,y,x ) \mu(dx) = 0$$

¿Es cierto?

Notas: $\mathbb{B}(z,\delta)$ es la bola cerrada centrada en $z$ y con radio $\delta$ .

Estoy pensando en funciones como $\gamma(z,y,x) = \lambda(z,x) + |z-y| \cdot \Lambda(x)$ , donde $\lambda(z,x)$ es integrable $\forall z$ , mientras que $\Lambda(x)$ no lo es. Por lo tanto, $\gamma$ es integrable si $y=z$ y no es integrable aunque $y = z \pm \epsilon$ . Pero, ¿pueden ejemplos como éste destruir la propiedad de tener $\lim_{\mu(A)\rightarrow 0} (\int_A \gamma) = 0$ ?

Answer 1

Para que esto funcione, hay que añadir algunas condiciones adicionales, si no me equivoco. (Como siempre, los comentarios y las correcciones son bienvenidos.) Presentaré algunos argumentos que demuestran que las condiciones adicionales son de hecho necesarias. Pero primero, examinemos qué tipo de condiciones adicionales podrían funcionar.

Dejemos que $g: \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \times \mathbb{R}^n \times X \rightarrow \mathbb{R}_{> 0}$ tengan todas las propiedades especificadas en la pregunta, y que $g$ sea también esencialmente acotada (acotada, excepto posiblemente en un conjunto de medida cero) en el tercer argumento. Entonces la respuesta es sí, porque una función medible esencialmente acotada en un espacio de probabilidad debe ser integrable, por lo que en este caso toda función $h$ de su familia tendrá que ser medible e integrable en el tercer argumento, así que por el argumento presentado en Condiciones en las que el Límite de la "Medida $\to 0$ " es $0$ , $\lim_{\mu(A) \rightarrow 0} \ \int_{A} h(z,y,x ) \mu(dx) = 0$ independientemente de $\delta$ incluso.

Por lo tanto, si añadimos la limitación esencial en el tercer argumento, la respuesta es sí. Si, por ejemplo, $X$ es compacta, entonces la acotación se deduce de la acotación local, por lo que asumir la compacidad debería ser suficiente para responder positivamente a tu pregunta. (Sin embargo, no creo que sea necesario. Tampoco lo es la acotación esencial).

Ahora construiremos un contraejemplo. (Para ello, bastará con funciones de la forma en la que estaba pensando). Sea $n=1$ para simplificar y dejar que $X=(0,1)$ equipado con la medida de Lebesgue. Definir $g: \mathbb{R} \setminus \{0\} \times \mathbb{R} \times (0,1) \rightarrow \mathbb{R}_{> 0}$ de la siguiente manera:

$$g(z,y,x)=1+\frac{|z-y|}x$$

Esta función tiene todas las buenas propiedades que buscas (continuidad, acotación local y mensurabilidad en los argumentos adecuados) y es integrable para $z=y$ porque $g(z,z,x)=1$ para todos los triples $(z,z,x)$ . Si no es integrable para $z\neq y$ (independientemente de $\delta$ ), porque como sabemos $x\mapsto\frac1x$ no es integrable alrededor de $0$ . Por ello, para cualquier intervalo de la forma $A=(0,c)$ necesariamente tenemos que tener $\int_A g(z,y,x)\mu(dx)=\infty$ siempre y cuando $z\neq y$ por lo que el supremum en este caso no será $0$ pero $\infty$ No importa lo cerca que estén $y$ y $z$ podría conseguir ...

Espero que esto ayude.