Prueba de que $x^4+1$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$

Question

Acabo de empezar a trabajar en el tema de la irreducibilidad de los polinomios y me gustaría mostrar lo siguiente:

Demostrar que $x^4+1$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ .

He conseguido llegar a una prueba que me parece razonable, pero no estoy seguro de que sea realmente correcta. ¿Podría alguien decirme si he cometido algún error de principiante?

Mi prueba: Claramente $x^4+1$ no tiene raíz en $\mathbb{Q}$ por lo que sólo se puede descomponer en dos polinomios de grado $2$ . Por lo tanto, debe haber $a, b \in \mathbb{Q}$ s.t. $x^4+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)$ . Si multiplicamos esto obtenemos $x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1$ . Si ahora igualamos los coeficientes obtenemos que $a+b = 0$ y por lo tanto $a = -b$ y que $ab+2=0$ y por lo tanto que $a^2=2$ que no es posible en $\mathbb{Q}$ .

Se agradece cualquier comentario.

Answer 1

Para este polinomio, se puede simplificar, ya que conocemos su factorización sobre $\mathbf R$ : $$x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2-\sqrt2x+1)(x^2+\sqrt2x+1),$$ y esta factorización no tiene coeficientes racionales. Así que por la unicidad de la factorización, no puede tener otra factorización sobre $\mathbf Q$ .

Answer 2

Tu planteamiento en principio funciona bien, sólo has intentado tomar un atajo que no está disponible y que no es realmente necesario. En su lugar:

$$(x^4+1) = (x^2+ax+c)(x^2+bx+d)$$

Obtenemos

$$x^4+(a+b)x^3+(ab+c+d)x^2+(ad+bc)x+cd.$$

Usted obtiene $cd=1$ y por lo tanto $c=d^{-1}$ . Todavía tienes $a=-b$ (de la tercera potencia), y luego $ad +bc$ se convierte en $ad-ac$ y además $a(c^{-1}-c)$ .

Así, $a=0$ o $c= c^{-1}$ (es decir, $c = \pm 1$ ).

En el primer caso, se obtiene $c+ c^{-1}= c+d = 0$ que es imposible. En este último caso, ya se ocupó de $c=d=1$ y $c= d= -1$ es esencialmente la misma, se obtiene el imposible $a^2 = -2$ .

Dicho esto, el enfoque Eisenstein mencionado en un comentario es más elegante, si lo tienes disponible.

Answer 3

Su prueba está casi bien - sólo tiene que escribir más en general $$ x^4+1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d), $$ donde obtenemos por supuesto $bd=1$ , que sobre los enteros sólo deja las posibilidades $b=d=1$ o $b=d=-1$ . En ambos casos, las ecuaciones diofánticas asociadas no tienen solución, y esto es fácil de ver (obtenemos $c=−a$ y $a^2 =b+d=±2$ (lo que no es posible).

Además, el polinomio $x^4+1$ es el $8$ -polinomio ciclotómico, y por lo tanto irreducible por el teorema de su clase de álgebra. Por supuesto, hay otros métodos para demostrar esto directamente, por ejemplo, escribiendo $f(x)=x^4+1$ y aplicando Eisenstein a $$ f(x+1)=x^4+4x^3+6x^2+4x+2. $$