Solvabilidad de un grupo con orden $p^n$

Question

Si $G$ es un grupo cuyo orden es $p^n$ ( $p$ es primo), entonces $G$ es solucionable.

¿Cómo voy a mostrar esto? Se agradece cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Prueba por inducción en el poder de $p$ . Si $n=1$ , $G$ es soluble por definición como grupo cíclico de orden primo.

Supongamos que esta afirmación es cierta para todos los $k\leq n-1$ . Supongamos que $|G|=p^n$ . Por la ecuación de clase, el centro $Z(G)$ no es trivial. Así que $Z(G)$ es normal en $G$ y abeliana, por lo tanto soluble.

Así que, o bien $G/Z(G)$ es un $p$ -grupo de menor orden, o es trivial.

El teorema clave que hay que recordar es que si $H\unlhd G$ y $H$ es solucionable y $G/H$ es solucionable, entonces $G$ también es solucionable. Si $|G/Z(G)|< p^n$ , entonces por inducción $G/Z(G)$ es solucionable, por lo que $G$ es solucionable. De lo contrario, sólo tienes $G=Z(G)$ .

Answer 2

Una forma organizada de ver el problema es tener en cuenta los siguientes resultados muy importantes:

Propuesta . Cualquier nilpotente grupo es soluble.

Esquema de la prueba: Nos referimos primero a la siguiente relación, válida para la serie central descendente de cualquier grupo arbitrario $G$ :

$$[\mathrm{C}^m(G), \mathrm{C}^n(G)] \subseteq \mathrm{C}^{m+n+1}(G)$$

para la arbitrariedad $m, n \in \mathbb{N}$ . En base a esto, se puede establecer además por inducción en $n \in \mathbb{N}$ eso:

$$\mathrm{D}^n(G) \subseteq \mathrm{C}^{2^n-1}(G)$$

gracias a la cual las cosas se aclaran (si el $r$ -es trivial, entonces $\mathrm{D}^r(G) \leqslant \mathrm{C}^{2^r-1}(G) \leqslant \mathrm{C}^r(G)=\{1_G\}$ teniendo en cuenta la desigualdad $2^r \geqslant r+1$ válido para todos $r \in \mathbb{N}$ ). $\Box$

Teorema. Dejemos que $p \in \mathbb{N}^*$ sea un primo. Cualquier $p$ -es nilpotente.

Esquema de la prueba: Para un grupo arbitrario $G$ convocan para denotar por $$\mathscr{S}(G)=\{H \subseteq G\ |\ H \leqslant G\}$$

el subconjunto de todos los subgrupos de $G$ . Si $m, n$ son números naturales, entonces por $[m, n]$ nos referiremos al intervalo entre los dos dado por la orden sobre $\mathbb{N}$ (así por ejemplo $[3, 5]=\{3, 4, 5\}$ ).

Se establece por inducción en $n \in \mathbb{N}$ ese grupo determinado $G$ tal que $|G|=p^n$ entonces existe una secuencia finita $H \in \mathscr{S}^{[0, n]}$ tal que:

1. $H_0=G$ y para cualquier $k<n$ tenemos $H_k \geqslant H_{k+1}$ junto con $|H_k:H_{k+1}|=p$ (en otras palabras, la secuencia es estrictamente decreciente ).
2. Para cualquier $k<n$ tenemos $[G, H_k] \leqslant H_{k+1}$ .

Hay que tener en cuenta que estas condiciones implican automáticamente $H_{k} \trianglelefteq G$ (lo que se llama un normal serie) y $|G:H_k|=p^k$ para cualquier $k \leqslant n$ Por lo tanto, en particular $H_n=\{1_G\}$ . En otras palabras, tal secuencia será claramente una serie central inferior que alcanza el subgrupo trivial.

El paso inductivo se realiza apoyándose en el hecho de que si el exponente $n \geqslant 1$ (es decir, el grupo $G$ no es trivial) entonces tendrá un centro no trivial como $\mathrm{Z}(G)$ también es un no trivial $p$ -grupo, tenemos $p|\ |\mathrm{Z}(G)|$ y por lo tanto existe $a \in \mathrm{Z}(G)$ de orden $p$ . Entonces el grupo $H=\langle a \rangle$ es un subgrupo normal (incluso central) por el que se puede factorizar para aplicar la hipótesis inductiva. $\Box$