¿La intersección infinita es vacía si las intersecciones finitas lo son?

Question

Supongamos que $ A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n = \emptyset $ para todos $n \in \mathbb{N}$

¿Es también cierto que $ A_1 \cap A_2 \cap \dots = \emptyset$ ?

¿Podría darme una pista sobre cómo pensar en refutar esto? (Estoy asumiendo que es falso con algún contraejemplo elegante que probablemente no voy a adivinar...)

Answer 1

Añadir más términos a una intersección sólo hace que el resultado más pequeño (Recuerda: $A\cap B$ es un subconjunto de ambos $A$ y $B$ Así que, en particular $A\cap B\cap C$ es un subconjunto de $A\cap B$ ). Así que tan pronto como $A_1\cap A_2\cap ...\cap A_n=\emptyset$ para algunos $n$ Cada intersección posterior también estará vacía.

Answer 2

Una pista:

$$\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i \subseteq \bigcap_{i=1}^{2} A_i$$