Perímetro medio con n puntos en la circunferencia unitaria

Question

Hace un par de días, un amigo me retó a resolver un problema:

Se tienen N vértices, cada uno de ellos colocado aleatoriamente en el borde de un círculo unitario. Cuál es la fórmula (dado N) que da el perímetro medio de estos polígonos.

Tenga en cuenta que los puntos no se conectan por el orden en que fueron colocados, sino por los puntos que están más cerca entre sí. Es decir, usted barre en el sentido de las agujas del reloj trazando el polígono por el orden en que se encuentran los puntos después de que los puntos hayan sido colocados al azar.

Después de pensarlo mucho, se me ocurrió lo que creo que puede ser la solución:

$$n\int_0^{2\pi} \frac{(n-1)(1-\frac{x}{2\pi})^{n-2}}{2\pi} \times \sqrt{2-2\cos {x}} \, dx$$

Esta fórmula encuentra la longitud media de la secante para $n$ vértices y multiplica esa longitud por el número de lados; sin embargo, tengo la sensación de que esto no resuelve el problema porque las longitudes de las secantes del polígono dependen unas de otras.

Me gustaría que alguien confirmara mis sospechas, que me dijera que mi fórmula funciona, o que me diera una razón diferente por la que la fórmula no funciona.

Por favor, no me resuelvan este problema

Todavía quiero resolverlo por mi cuenta si esta no es la solución.

Answer 1

Su preocupación por la dependencia de las longitudes es infundada. Lo bueno de linealidad de la expectativa Lo que lo hace tan útil para obtener resultados sin tener que elaborar distribuciones de probabilidad completas, es que no requiere independencia. Suponiendo que hayas calculado correctamente la longitud media, este es el resultado correcto. Todavía no lo he comprobado, pero lo haré cuando vuelva de tomar los últimos rayos de sol de este hermoso día de abril :-)

Answer 2

El problema se puede plantear de la siguiente manera: queremos calcular la media de $$ \sum_{k=1}^{N} 2\sin(\pi \theta_k) $$ cuando $(\theta_1,\ldots,\theta_N)$ se selecciona al azar en la región $E$ dado por $\theta_i\geq 0, \sum_{k=1}^{N}\theta_i = 1$ .

Por la linealidad de la expectativa, la media anterior es sólo $2N$ veces el valor esperado de $\sin(\pi\theta_1)$ en $E$ . Ahora el La distribución de Dirichlet viene a la mano. Al aproximar $\sin(\pi x)$ con $4x(1-x)$ en $(0,1)$ tenemos que el perímetro medio es cercano a: $$ 2N\cdot 4\left(\frac{1}{N!}-\frac{2}{(N+1)!}\right)\cdot (N-1)! =8\cdot\frac{N-1}{N+1}$$ que obviamente no puede ser una aproximación ajustada para $N\geq 8$ debido a la desigualdad isoperimétrica.

De todos modos, para cualquier $N$ podemos encontrar una aproximación polinómica adecuada para $\sin(\pi x)$ en $(0,1)$ y luego realizar los mismos pasos que en el caso anterior. La expresión exacta para el perímetro medio implica una función hipergeométrica $_1 F_2$ :

$$ 2\pi\cdot\phantom{}_1 F_2\left(1;\frac{1}{2}+\frac{N}{2},1+\frac{N}{2};-\frac{\pi^2}{4}\right)=\color{red}{2\pi-2\pi^2\int_{0}^{1}v^N\sin(\pi v)\,dv} $$

que claramente se comporta como $2\pi-O\left(\frac{1}{N^2}\right)$ para grandes $N$ .

Una aproximación muy buena para grandes $N$ es $2\pi-\frac{2\pi^3}{(N+1)(N+3)}$ .