Forma de volumen y medida de Hausdorff

Question

Deje $M$ ser un suave orientable $(n-1)$-dimensiones submanifold en $\mathbb{R}^n$, $dS$ ser su forma de volumen y $dH^{n-1}(x)$ ser $(n-1)$-dimensional medida de Hausdorff. Cómo mostrar que $$ \int\limits_{M} f(x) dS = \int\limits_{M} f(x) dH^{n-1}(x) $$

De hecho, es un generaliation de una igualdad fórmula de la superficie de las integrales de primera y segunda clase en $\mathbb{R}^3$.

Answer 1

Suponga que $M = \{x \in \mathbb{R}^n \mid g(x) = 0 \}$ e $\partial_1 g > 0$. Entonces por la fórmula del área tenemos $$ I = \int\limits_{M}f(x)dH^{n-1}(dx) = \int\limits_{\mathbb{R}^{n-1}}f(y) J_[\varphi](y) dL^{n-1}(y) $$ donde $J_{n-1}[\varphi]$ es $(n-1)$-dimensiones Jacobiano de la asignación de $\varphi(y_1,...,y_{n-1}) = (x_1(y),y_1,...,y_{n-1})$ donde $x_1(y)$ es tal que $g(x_1(y),y_1,...,y_{n-1})=0$. Por lo $J_{n-1}(y) = \frac{|\nabla g|}{\partial_1 g}$. Por otro lado $\frac{|\nabla g|}{\partial_1 g} y_1 \wedge ... \wedge y_{n-1}$ es un retroceso de la forma $\omega$ tal que $\frac{dg}{| \nabla g |} \wedge \omega$ = dx. La forma de volumen $dS$ a $M$ satisface la misma ecuación. Entonces $$ I = \int\limits_{M} f(x)dS $$ Si M es arbitraty debemos utilizar una partición de la unidad.