Cómo demostrar a $\mathbb{Z}[\sqrt{2}i]=\{a+b\sqrt{2}i\mid a,b\in\mathbb{Z}\}$ es un director ideal de dominio?

Question

Cómo demostrar a $\mathbb{Z}[\sqrt{2}i]=\{a+b\sqrt{2}i\mid a,b\in\mathbb{Z}\}$ es un director ideal de dominio? Puedo demostrar que es único en el dominio de factorización.

Por otra parte, cómo demostrar a $\mathbb{Z}[\sqrt{n}i]=\{a+b\sqrt{n}i\mid a,b\in\mathbb{Z}\}$ no es exclusivo de la factorización de dominio para todos los $n\geq 3$ por lo que no principal ideal de dominio?

Answer 1

Deje $N(x)=|x|^2$ ser un Euclidiana función.

usted debe comprobar que para cualquier valor distinto de cero $ a, b \in \mathbb{Z}[\sqrt{2}i]$, $N(a)\le N(ab)$. (No es difícil. Sólo trato!)

A continuación, para cualquier $ a, b \in \mathbb{Z}[\sqrt{2}i], b\neq 0$, escribimos $\frac{a}{b}=c+d\sqrt{2}i$ donde $c,d \in \mathbb{Q}$.

Entonces existen 2 enteros $m, n$ tal que $|m-c|<\frac12$ e $|n-d|<\frac12$.

Tenemos $a=b(\frac ab)=b(c+d\sqrt{2}i)=b[(c-m)+m+((d-n)+n)\sqrt{2}i]$

$=bq+r$ donde $q=m+n\sqrt{2}i$ e $r=b[(c-m)+(d-n)\sqrt{2}i]$.

(Tenga en cuenta que $q,r\in \mathbb{Z}[\sqrt{2}i]$)

Entonces usted puede comprobar simplemente que $N(r)\le N(b)$ al $r\neq 0$ y $N(r)=0$ al $r=0$.

Por medio de la presente, nos muestran que el anillo es en realidad un dominio Euclídeo. Por un teorema en cualquier álgebra abstracta de texto, el anillo es de PID.

Answer 2

Para la primera parte, demostrar que es un dominio Euclídeo con Euclidiana función de $N(x)=|x|^2$. Luego de ello se desprende que se trata de un PID.