Tengo curiosidad por saber, si tres variables aleatorias tienen la misma varianza, ¿cuál será la co-varianzas parece? Puede alguien ayudarme a resolverlo?
Respuesta
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El covarianzas será el común de la varianza mutliplied por las correlaciones entre las variables, que se hará entre el $-1$ e $1$, aunque hay algunas restricciones sobre los posibles valores de las tres correlaciones podría tomar (no todos pueden ser$-1$, al mismo tiempo, por ejemplo).
Así que si las variables son $Y_1,Y_2$ e $Y_3$, la varianza común es $\sigma^2$ y las tres correlaciones se $\rho_{12},\rho_{13}$ e $\rho_{23}$, entonces la covarianza $c_{ij} = \sigma^2 \rho_{ij}$ por cada $i,j$ combinación.
El conjunto de posibles valores para las tres correlaciones es tal que la matriz de correlación o de la matriz de covarianza (ya sea implica la otra, dadas las varianzas son todas positivas) es positiva semi-definida. Un simétrica $n × n$ real de la matriz $A$ es positivo semi-definitiva si $x^TAx \geq 0$ por cada no-cero vector columna $x$ de % de $n$ números reales.
(En su caso, $n=3$ del curso).
Así, para un ejemplo de una matriz de correlación que no puede ocurrir, considere el caso donde todas las correlaciones $\rho_{12},\rho_{13}$ e $\rho_{23}$ se $-0.8$. Entonces, si usted toma el vector $x$ a todos los $1$s, $x^TAx = -1.8$, así que hay al menos un $x$ para que $x^TAx$ no es, al menos,$0$, y así la matriz $A$ no es positiva semi-definido, y no puede ser una matriz de correlación.
En R:
> A
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1.0 -0.8 -0.8
[2,] -0.8 1.0 -0.8
[3,] -0.8 -0.8 1.0
> x
[,1]
[1,] 1
[2,] 1
[3,] 1
> t(x) %*% A %*% x # x' A x
[,1]
[1,] -1.8
Así que si tratamos de hacer algo que se basa en que siendo positiva semi-definitiva, se producirá un error:
> chol(A)
Error in chol.default(A) :
the leading minor of order 3 is not positive definite
[¿Por qué la definición de lo que es una posible matriz de correlación de trabajo? Considerar que definimos una nueva variable aleatoria, $Z = x^TY$. A continuación,$\text{Var}(Z) = x^T\text{Var}(Y)x = \sigma^2 x^TAx$. Claramente, si $x^TAx$ podría ser negativo, no sería una variable aleatoria, $Z$, con una desviación negativa. Así que necesitamos a $x^TAx\geq 0$ todos los $x$.]
edit: algunos más-o-menos preguntas relacionadas con:
El obligado en un común correlación de tres variables (los límites en las $\rho$ para el caso de $\rho_{12}=\rho_{13}=\rho_{23}=\rho$) se discute en esta pregunta.
Si se especifican dos correlaciones y mirar los posibles valores de la tercera, hay un poco de discusión en esta pregunta.
