Me ayudan? por favor, ¿Cómo resolver esta integral? $$\int\frac{1+x^2}{1+x^4}\,dx$$
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Anthony Shaw
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858
$$
\begin{align}
\int\frac{1+x^2}{1+x^4}\,\mathrm{d}x
&=\frac12\int\frac{\mathrm{d}x}{1-\sqrt2x+x^2}+\frac12\int\frac{\mathrm{d}x}{1+\sqrt2x+x^2}\tag{1}\\
&=\int\frac{\mathrm{d}x}{\left(\sqrt2x-1\right)^2+1}+\int\frac{\mathrm{d}x}{\left(\sqrt2x+1\right)^2+1}\tag{2}\\
&=\frac1{\sqrt2}\left(\tan^{-1}(\sqrt2x-1)+\tan^{-1}(\sqrt2x+1)\right)+C\tag{3}\\
&=\frac1{\sqrt2}\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt2x}{1-x^2}\right)+C\tag{4}
\end{align}
$$
Explicación:
$(1)$: fracciones parciales
$(2)$: completa el cuadrado
$(3)$: arctan integral
$(4)$: bronceado de una fórmula de la suma
Farkhod Gaziev
Puntos
6
SUGERENCIA:
$$\displaystyle \int\frac{1+x^2}{1+x^4}dx=\int\frac{\frac1{x^2}+1}{x^2+\frac1{x^2}}dx$$
Como $\displaystyle\int\left(\frac1{x^2}+1\right)dx=x-\frac1x$
escribir $\displaystyle x^2+\frac1{x^2}=\left(x-\frac1x\right)^2+2 $ y establezca $\displaystyle x-\frac1x=u$
A continuación, utilice Trigonométricas sustitución
