La hormiga y la goma de la cadena.

Question

Tenemos una hormiga en la punta de un horizantal de goma cadena de longitud decir $\text{10 cm}$. La hormiga se mueve $\text{5 cm}$ cada segundo, y la goma de la cuerda se estira $\text{100 cm}$ cada segundo.

Se la hormiga nunca llegar al final de la cadena de goma?

(Los números, por supuesto no son específicos que son solo un ejemplo)

Como el primer pensamiento es imposible, pero tenga en cuenta que el estiramiento de la goma también afecta a la posición de la hormiga, es decir, si la hormiga se mueve su primera $\text{5 cm}$ será a mitad de camino de la cadena, entonces podemos alargar la cadena hasta que se convierta en $\text{110 cm}$ y ahora la hormiga se encuentra todavía en la mitad del camino de la cadena y que es al $\text{55 cm}$.

Por ejemplo, si $x_i$ representa la posición de la hormiga en el $i^{th}$ segunda y $y_i$ representa la elongación de la cadena en la $i^{th}$ segunda.

Así, en nuestro ejemplo

$\text{$x_1=5 \qquad y_1=10$}$

$\text{$x_2=60 \qquad y_2=110$}$

$\text{$x_3=119.55 \qquad y_3=210$}$ ....

Traté de trabajar que en las ecuaciones y las secuencias, y se me ocurrió esto $$x_i=\frac{x_{i-1}}{y_{i-1}} × y_i +5$$ y por supuesto $$y_i=y_{i-1}+100$$

Así que la pregunta ahora es, podría $x_i=y_i$ a un cierto $i$?

Es mi trabajo, ¿correcto? Cualquier otro resultó solución también es apreciado...

En realidad, la verdadera paradoja es que si somos el alargamiento de la goma de la cadena de $\text{1 km}$ cada segundo y la hormiga se sigue moviendo en la tasa de $\text{5 cm}$ cada segundo. Se la hormiga nunca llegar al final de la cadena?

Answer 1

La hormiga va a llegar a la final, pero si su velocidad es más lenta que la cadena se extiende tomará un largo tiempo. La forma habitual de estado el problema que tiene la cadena de estiramiento de forma instantánea una vez por segundo.

Sólo para ser más específicos, vamos a la hormiga caminando en $1$ cm por segundo, y la cadena de empezar a $100$ cm y estirar $100$ cm por segundo. En el primer segundo de la hormiga cubre $1$ cm, lo cual es $1/100$ de la cadena. A continuación, la cadena se extiende a $200$ cm y la hormiga cubre $1/200$ de la cadena. En el $n^{th}$ segundo la hormiga cubre $\frac 1{100n}$ de la cadena. Después de la $n^{th}$ segundo la hormiga ha cubierto $$\frac 1{100}\left(\frac 11+\frac 12+\frac 13 +\ldots +\frac 1n\right)=\frac 1{100}H_n$$ where $H_n$ is the $n^{th}$ harmonic number. We have $H_n \approx \log n + \gamma$, so we need $$\log n \approx 99.5\\n\approx e^{99.5}$$

Answer 2

Aquí es un enfoque diferente. Advertencia : la justificación de que el modelo no es muy riguroso, pero, de nuevo, estamos tratando de modelo, algunos de hormigón fenómeno físico matemáticas, por lo que no puede ser totalmente riguroso. Aún así es un muy buen modelo, aunque, y obtenemos resultados similares a los que obtiene con el discreto modelización

Ross Millikan respuesta proporciona una solución cuando el proceso es discreto : usted de contar segundos, y en cada segundo, la banda de goma es alargado mucho y la hormiga se mueve de mucho. Esto es lo que se pide, pero no es muy realista.

Supongo que ponemos la goma de la banda junto a un infinito regla, a partir de a $0$.

Concretamente, la goma de la banda que se mueven continuamente. Ya que queremos que crezca $100$ cm de cada uno de los segundos, y desde el más sencillo es el modelo lineal, voy a asumir que la longitud de la banda de goma en el tiempo $t$ es $y(t) = 100(t+1)$.

Deje $x(t)$ denotar la posición de la hormiga en el tiempo $t$ (posición con respecto a la infinita regla junto a la que estamos llevando a cabo el experimento). Estoy suponiendo que la hormiga es caminar a velocidad constante (en la banda de goma) $v$.

A continuación, en un muy, muy pequeña cantidad de tiempo $\mathrm{d}t$, podemos aproximar el proceso por una discreta uno (el que no sea riguroso parte), que es el si $\mathrm{d}t$ es lo suficientemente pequeño, se puede decir que dentro de este tiempo, es como si nos hubieran estirado la banda de goma, luego se trasladó a la hormiga (podríamos hacerlo de la otra manera, la fórmula es un poco diferente, pero la ecuación que se obtiene es lo mismo); que es $x(t+\mathrm{d}t) \approx \frac{x(t)}{y(t)}y(t+\mathrm{d}t)+ v\mathrm{d}t$. Para hacer esta aproximación de precisión (y volver a el riguroso mundo), voy a asumir que para las pequeñas $\mathrm{d}t$, el error entre la $x(t+\mathrm{d}t)$ es negligeable cuando se compara a $\mathrm{d}t$.

Así que mi suposición es que, como $\mathrm{d}t\to 0$, $x(t+\mathrm{d}t) = \frac{x(t)}{y(t)}y(t+\mathrm{d}t)+ v\mathrm{d}t + o(\mathrm{d}t)$. Hop, ahora hemos terminado de modelar, y podemos proceder en su totalidad de rigor. Porque lo que esto implica, es que $x(t+\mathrm{d}t) = x(t)(1+\frac{\mathrm{d}t}{t+1})+ v\mathrm{d}t + o(\mathrm{d}t)$ (pequeño cálculo con la fórmula explícita para $y(t)$), y por lo tanto para $\mathrm{d}t\to 0$, obtenemos $\frac{x(t+\mathrm{d}t)-x(t)}{\mathrm{d}t} = \frac{x(t)}{t+1} + v+o(1)$. Ahora vamos al límite y conseguir que $x$ es diferenciable, y para $t\geq 0$, $x'(t) = \frac{x(t)}{t+1} + v$.

Así que tenemos una ecuación diferencial nos dice cómo $x$ se comporta, y sabemos cómo $y$ se comporta. La hormiga llega a la final de la banda de goma si y sólo si $x(t) = y(t)$ para algunos $t\geq 0$.

Ahora es un clásico ejercicio de ecuaciones diferenciales para resolver esto, y tenemos que $x(t) = v\ln(t+1)(t+1) + c(t+1) = (t+1)(v\ln(t+1)+c)$ para algunas constantes $c$.

Excepto si queremos un preciso cálculo de la constante de $c$ no importa mucho, pero podemos decir lo que es : evaluar en $0$ conseguir $0=x(0) = c$. Por lo $c=0$

Por lo $x(t) = v(t+1)\ln(t+1)$. Tenga en cuenta que tenemos un logaritmo, al igual que en Ross Millikan respuesta (al menos en términos de orden de magnitud del crecimiento), que nos dice que el modelo es discreto no está tan lejos del modelo continuo.

Pero ahora $x(t) = y(t)$ se convierte en una ecuación podemos resolver: $v(t+1)\ln(t+1) = 100(t+1)$. Esto nos dice $t=e^\frac{100}{v}-1$, por lo que en nuestra situación donde $v=5$, obtenemos $t=e^{19}-1$; y en el de Ross en la situación en la $v=1$, obtenemos $t=e^{100}-1$, que es bastante cerca de lo que encontraron : nos dice una vez más que los dos modelos no son tan diferentes.

Por supuesto, la fórmula general es que la hormiga va a llegar a la final de la banda de goma en $t=e^\frac{d}{v}-1$, donde $d$ es la cantidad por la que la banda de goma se expande : la hormiga siempre se consigue, pero si $d>>v$, tomará un largo tiempo.