Una norma de la matriz de la desigualdad

Question

Dado un real $m\times n$ matriz $C$, a $m\times m$ matriz diagonal $p$ cuya diagonal entradas de $p_{ii}$ son 0 o 1, y un $n\times n$ matriz diagonal $q$ cuya diagonal entradas de $q_{ii}$ son 0 o 1.

Deje $P(\alpha)=\frac{\exp(i\alpha)}{2}p + \frac{I-p}{2}$, una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son o $1/2$ o $\exp(i\alpha)/2$.

Deje $Q(\alpha)=\frac{\exp(i\alpha)}{2}q + \frac{I-q}{2}$, una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son o $1/2$ o $\exp(i\alpha)/2$.

Entonces podemos construir la función $$n(\alpha)=\frac{\|P(\alpha) C + C Q(\alpha)\|}{\|C\|}$$ donde la norma es el operador de la norma.

La siguiente figura muestra todos los posibles $n(\alpha)$ curvas para un $7\times 7$ matriz $C$.

Estamos interesados en el comportamiento de $n(\alpha)$ para $\alpha\in[0,\pi]$.

Podemos demostrar fácilmente que $n(\alpha)\leq 1$: $$\frac{\|P(\alpha) C + C Q(\alpha)\|}{\|C\|}\leq \frac{\|P(\alpha) C \|+\| C Q(\alpha)\|}{\|C\|}\leq \frac{\|P(\alpha)\|\| C \|+\| C \|\|P(\alpha)\|}{\|C\|}\\ \leq \frac{\frac{1}{2}\| C \|+\| C \|\frac{1}{2}}{\|C\|} \leq 1$$

En el caso de que $P(\alpha)=I/2$, se puede demostrar fácilmente que $n(\alpha)$ es un nonincreasing función de $\alpha$: $$n(\alpha+\delta_{\alpha})=\frac{\|C/2 + C Q(\alpha+\delta_{\alpha})\|}{\|C\|}=\frac{\|C (I/2+ Q(\alpha+\delta_{\alpha}))\|}{\|C\|}\\ =\frac{\|C (I/2+ Q(\alpha)) I/2+ Q(\alpha))^{-1}(I/2+ Q(\alpha+\delta_{\alpha}))\|}{\|C\|}\\ \leq n(\alpha)\|(I/2+ Q(\alpha))^{-1}(I/2+ Q(\alpha+\delta_{\alpha}))\|$$ $(I/2+ Q(\alpha))^{-1}(I/2+ Q(\alpha+\delta_{\alpha}))$ es una matriz diagonal con los elementos de la diagonal 1 o $\frac{1+\exp(i(\alpha+\delta_{\alpha}))}{1+\exp(i\alpha)}$. Nota: $|\frac{1+\exp(i(\alpha+\delta_{\alpha}))}{1+\exp(i\alpha)}|\leq 1$ para los valores de los parámetros ($\alpha\in[0,\pi],\delta_{\alpha}>0,\alpha+\delta_{\alpha}\leq\pi$), por lo $\|(I/2+ Q(\alpha))^{-1}(I/2+ Q(\alpha+\delta_{\alpha}))\|\leq 1$ lo $n(\alpha+\delta_{\alpha})\leq n(\alpha)$, lo $n(\alpha)$ es de hecho un no-creciente en función de $\alpha$.

Así, a la pregunta

• Sospecho que $n(\alpha)$ es siempre un no-creciente en función de $\alpha$, no solo en el $P=I/2$ caso como se muestra arriba, pero la prueba técnica utilizada anteriormente no funciona en el caso general. ¿Cómo puedo demostrarlo?
• También parece que $n(\alpha)\geq \cos(\alpha/2)$. ¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

No estoy seguro acerca de otros inducida por las normas, pero sus conjeturas son verdaderas para la inducción de la 2-norma (es decir, el mayor valor singular), la inducida por 1-norma (el máximo absoluto de la suma de la columna) y la inducida por $\infty$-norma (la máxima absoluta de fila suma), debido a la siguiente observación:

La proposición. Deje $p=1,2$ o $\infty$ e $\|\cdot\|$ denota la matriz de la norma inducida por el vector $p$-norma. Deje $A(t)=\pmatrix{X&tY\\ tZ&W}$ ser un complejo con particiones de la matriz de donde $t\ge0$ e $X,Y,Z,W$ son fijos (pero no necesariamente cuadrada). A continuación, $\|A(t)\|$ es el aumento en el $t$.

Tenga en cuenta que el sobre de la proposición también es cierto cuando se $t$ se multiplica a la diagonal de bloques en lugar de a la antidiagonal bloques, debido a que la inducida por 1-, 2 - o $\infty$-de las normas de permutación invariante. Voy a aplazar la prueba de esta proposición a la final de la respuesta. Vamos a ver por qué sus conjeturas son verdaderas primera.

1. Presumiblemente $C$ es distinto de cero. Así, podemos asumir que se tiene de la unidad de la norma y la podemos ignorar el denominador en la definición de $n(\alpha)$.
2. Deje $z=e^{i\alpha/2}$. A continuación, tanto en $P$ e $Q$, hasta las permutaciones de filas y columnas, son de la forma $(\frac{z^2}2I)\oplus(\frac12I)$ (pero los tamaños de las matrices de identidad puede ser diferente).
3. Por lo tanto, podemos suponer que la $C=\pmatrix{X&Y\\ Z&W}$ e $CP+QC=\pmatrix{z^2X&\frac{z^2+1}2Y\\ \frac{z^2+1}2Z&W}$.
4. Desde $\|D_1A(t)D_2\|=\|A(t)\|$ para cualquier diagonal unitaria de las matrices de $D_1$ e $D_2$, tenemos, a su vez, $$ n(\alpha) =\left\|\pmatrix{X&\frac{z^2+1}{2z}Y\\ \frac{z^2+1}{2z}Z&W}\right\| =\left\|\pmatrix{X&\cos(\frac\alfa2)Y\\ \cos(\frac\alfa2)Z&W}\right\|. $$
5. Así que, por la proposición anterior, $n(\alpha)$ es la disminución en $\alpha$.
6. También, si aplicamos la anterior proposición a la diagonal de bloques en lugar de la antidiagonal queridos, obtenemos $$ \left\|\pmatrix{X&\cos(\frac\alfa2)Y\\ \cos(\frac\alfa2)Z&W}\right\| \ge\left\|\pmatrix{\cos(\frac\alfa2)X&\cos(\frac\alfa2)Y\\ \cos(\frac\alfa2)Z&\cos(\frac\alfa2)W}\right\| =\cos(\frac\alfa2). $$

Observación.

Lo anterior muestra que dos de sus conjeturas se cumple siempre y cuando la caja de la proposición es verdadera y la matriz de la norma en cuestión es inducida por algunos vector de normas que $\|Px\|=\|Dx\|=\|x\|$ para cualquier permutación de la matriz $P$ y diagonal unitaria de la matriz $D$. Sin embargo, no estoy seguro de si la caja de la proposición es realmente cierto para cada matriz de la norma. Es cierto, sin embargo, para la inducción de la 1-, 2 - y $\infty$-normas, como se muestra a continuación.

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La prueba de la proposición.

La proposición es trivial para $\|\cdot\|_1$ e $\|\cdot\|_\infty$. Así que, vamos a considerar sólo las inducida por la 2-norma.

Ignorar el caso trivial de que $A(0)=0$. Deje $F=\pmatrix{X&0\\ 0&W}$ e $G=\pmatrix{0&Y\\ Z&0}$, por lo que el $A(t)=F+tG$. Ahora, elige un fijo $t>0$ y deje $\sigma_t=\|A(t)\|_2$. Deje $u$ e $v$, respectivamente, una izquierda y una derecha de la unidad singular de vector de $A(t)$ correspondiente a los valores singulares $\sigma_t$ (de modo que $Av=\sigma_t u$ e $u^\ast Av=\sigma_t$).

Tenga en cuenta que la parte real de la $u^\ast Gv$ debe ser no negativo. Suponer lo contrario. A continuación, $t(u^\ast Gv)=-p+bi$ para algunos $p>0$ e $b\in\mathbb R$. Por lo tanto,$u^\ast Fv=\sigma_t+p-bi$. Sin embargo, por el variacional caracterización de los valores singulares, para cualquier matriz compleja $M$, tenemos $$ \M |\|_2 = \max_{\|x\|_2=\|s\|_2=1} |x^\ast Mi|. $$ Desde $F+tG$ es unitarily equivalente a $F-tG$ (de hecho, uno puede obtener la segunda por la izquierda y a la derecha multiplicando el anterior por las matrices de la forma $I\oplus-I$), el valor singular de $F-tG$ debe ser igual a $\sigma_t$. Por lo tanto, por el variacional caracterización de los valores singulares, obtenemos $\sigma_t\ge|u^\ast(F-tG)v|=|(\sigma_t+2p)-2bi|$, lo cual es imposible debido a $p>0$. Por lo tanto la parte real de la $u^\ast Gv$ debe ser no negativo.

Por eso, $T>t$, $$ |u^\ast(T)v| =|u^\ast(t)v + (T-t)(u^\ast Gv)| =|\sigma_t + (T-t)(u^\ast Gv)| \ge\sigma_t $$ y, por tanto, $\|A(T)\|_2\ge\|A(t)\|_2$ cualquier $T>t\ge0$. Como $\|A(t)\|_2$ es continua en $t$, llegamos a la conclusión de que se está incrementando en $t=0$ también. $\square$