Dada una serie de potencias, ¿cómo puedo hacer una centrada en un punto diferente?

Question

Supongamos que tengo una función definida de la siguiente manera

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c_1)^n$$

¿Cómo podría deducir los coeficientes de la serie de potencias centrada en un punto diferente?

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-c_2)^n$$

$$b_n=???$$

especialmente sin aplicar directamente el teorema de Taylor en todas partes.

Answer 1

Supongamos sin pérdida de generalidad que $c_1=0$ y que $r$ sea el radio de $\sum_n a_n z^n$ . Demostremos que para cualquier $c_2$ tal que $|c_2|<r$ la serie de potencias $$\sum_n \left(\sum_{k=n}^\infty a_k \binom kn c_2^{k-n} \right)(z-c_2)^n$$ tiene un radio mayor que $r-|c_2|$ y su suma es igual a $f$ .

Considere algunos $z$ tal que $|z-c_2|<r-|c_2|$ . Esto implica $|z|<r$ en particular, para que $\begin{align} f(z)= \sum_{k=0}^\infty a_k z^k &=\sum_{k=0}^\infty a_k (c_2 + z-c_2)^k\\ &=\sum_{k=0}^\infty \sum_{j=0}^k a_k \binom kj c_2^{k-j} (z-c_2)^j \end{align}$

Dejemos que $u_{k,j}=\left\{ \begin{array}{ll} a_k \binom kj c_2^{k-j} (z-c_2)^j & \mbox{if } j\leq k \\ 0 & \mbox{otherwise} \end{array} \right.$

Demostremos que $(u_{k,j})$ es sumable.

En efecto, $$\begin{align}\sum_{k=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty |u_{k,j}| &=\sum_{k=0}^\infty \sum_{j=0}^k |u_{k,j}|\\ &=\sum_{k=0}^\infty \sum_{j=0}^k \left| a_k \binom kj c_2^{k-j} (z-c_2)^j\right|\\ &= \sum_{k=0}^\infty |a_k| (|c_2| + |z-c_2|)^k \end{align}$$

La serie de potencia $\sum_n |a_n|z^n$ tiene el mismo radio que el original y, por elección de $z_2$ , $|c_2| + |z-c_2|< r$ por lo tanto, la convergencia de la última serie.

Los rendimientos de la sumabilidad $$\begin{align}f(z) = \sum_{k=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty u_{k,j} &=\sum_{j=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty u_{k,j}\\ &= \sum_{j=0}^\infty \left(\sum_{k=j}^\infty a_k \binom kj c_2^{k-j} \right)(z-c_2)^j \end{align}$$ como se quería.