De segundo orden ODE $y''+p(t)y'+q(t)y=0$

Question

Vamos a considerar la ecuación diferencial ordinaria de la forma

$$t^2y''+3ty'+y=0$$

Esto es equivalente a

$$y''+\frac{3}{t}y'+\frac{1}{t^2}y = 0$$ que se ve mejor. Pero, ¿cómo hace uno para encontrar las soluciones aquí? Supuse que uno de ellos es $y(t)=\frac{1}{t}$, pero adivinando no debería ser el método aquí. Me siento como si yo necesitaba un smart sustitución. Cualquier sugerencias?

Answer 1

$$ t^2y" + 3ty' + y = 0 $$ la primera cosa a notar es que una trivial (aún perspicaz(creo) la separación de los términos) $$ t^2y" + 2ty' + ty' + y = \dfrac{d}{dt}t^2y' + \dfrac{d}{dt}ty =0 $$

$$ \dfrac{d}{dt} \left(t^2y' + ty\right) = 0 $$ o $$ t^2y'+ty = C_1 $$ este es un primer fin de la educación a distancia que se puede resolver fácilmente.