Invertible elementos de $\mathbb{Z}_3[x] / (x^4+x^3-1)^3$

Question

Deje $F=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, $h(x)=x^4+x^3-1$, $R = F[x]/(h(x)^3)$.

Sé $R$ ha $4$ ideales y $1$ máximo ideal. Deje $M$ ser el ideal maximal $(h(x))/(h(x)^3)$

Necesito encontrar el número de invertible elementos de $R$ y para ello necesito el número de elementos en $M$. Creo que este número es $3^8$ ya que debemos tener (no estoy seguro):

$|R| = |R/M||M|$ ($R/M$ es el cociente de aditivos de grupo)

$|R|$ = $\mathrm{3}^{12}$

$|R/M| = |F[x]/(h(x))| = 3^4$ (es así?)

Entonces:

$\mathrm{3}^{12} = 3^4 \cdot |M|$ lo $|M| = 3^8$

Pero de acuerdo a la solución de la prueba, $|M| = 3^9$. ¿De dónde me salen mal?

Answer 1

Su procedimiento es totalmente válido; se puede comprobar que $|R/M|=3^4$ simplemente señalar que $R/M$ es un espacio vectorial sobre $F$ con base $\{1,x,x^2,x^3\}$. De hecho, cualquier argumento que utiliza para demostrar que $|R|=3^{12}$ también, sin duda, demuestra que $|R/M|=3^4$. De hecho, se sigue que $|M|=3^8$, y la solución que se dé a usted es incorrecto.