Estoy investigando (sólo por diversión) la suma $$S=\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{n^3-1}$$ Wolfram Alpha me da el "valor $$S=-\frac13\sum_{\{\omega\,:\,\omega^3+6\omega^2+12\omega+7=0\}}\frac{\psi_{0}(-\omega)}{\omega^2+4\omega+4}$$ Dónde $\psi_{0}(s)$ es la función di-gamma. Me gustaría saber cómo se encuentra esto.
Mis intentos: recordar que $$x^3-1=\prod_{k=1}^{3}(x-\alpha_k)$$ Dónde $\alpha_k=\exp\frac{2i\pi(k-1)}{3}$ . Por lo tanto, $$S=\sum_{n\geq2}\prod_{k=1}^3\frac1{n-\alpha_k}$$ He demostrado en otros posts que dada alguna secuencia no nula $\{a_k:k=1,2,..,m\}$ donde $j\neq k\iff a_j\neq a_k$ entonces $$\prod_{k=1}^{m}\frac1{x-a_k}=\sum_{k=1}^{m}\frac1{x-a_k}\prod_{j=1\\j\neq k}^{m}\frac1{a_k-a_j}$$ Así que $$S=\sum_{n\geq2}\bigg[\sum_{k=1}^{3}\frac1{n-\alpha_k}\prod_{j=1\\j\neq k}^{3}\frac1{\alpha_k-\alpha_j}\bigg]$$ Configuración $b(k)=\prod_{j=1\\j\neq k}^{3}\frac1{\alpha_k-\alpha_j}$ , $$S=\sum_{n\geq2}\sum_{k=1}^3\frac{b(k)}{n-\alpha_k}$$ $$S=b(1)\sum_{n\geq2}\frac1{n-\alpha_1}+b(2)\sum_{n\geq2}\frac1{n-\alpha_2}+b(3)\sum_{n\geq2}\frac1{n-\alpha_3}$$ A continuación, centrarse en $$\begin{align} S_k=&\sum_{n\geq2}\frac1{n-\alpha_k}\\ =&\sum_{n\geq2}\int_0^1x^{n-1}\frac{\mathrm dx}{x^{\alpha_k}}\\ =&\int_0^1\frac{1}{x^{\alpha_k-1}}\sum_{n\geq0}x^{n}\mathrm dx\\ =&\int_0^1x^{1-\alpha_k}(1-x)^{-1}\mathrm dx\\ =&\text{???} \end{align}$$ para esta integral final consideré usar la función beta pero eso no funcionaría porque $\Gamma(0)$ es indefinido. Además, no estoy seguro de si $S_k$ incluso converge.
Como puedes ver, estoy atascado. ¿Podría tener un poco de ayuda?
Gracias
Editar:
Se puede ver aquí,%20n%3D2%20to%20infty) que parece haber un patrón en las evaluaciones de la función $$S(k)=\sum_{n\geq2}\frac1{n^{2k+1}-1},\qquad k\in\Bbb N$$ Que parecen estar en la forma $$S(k)=-\frac1{1+2k}\sum_{\{\omega\,:\,R_k(\omega)=0\}}\frac{\psi_0(-\omega)}{P_k(\omega)}$$ Dónde $R_k(x)$ es un polinomio de grado $k$ y $P_k(x)$ es un polinomio de grado $k-1$ .
