La generación de la serie - grupos Finitos de orden $n$

Question

Me pregunto si algo de interés que se puede decir acerca de una de las dos series

$$G_1(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}{\mathcal{G}(n)z^n}$$ $$G_2(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{\mathcal{G}(n)}{n^s}}$$

donde $\mathcal{G}(n)$ es el número de grupos finitos de orden $n$. (Ni siquiera sé si esas series son convergentes para cualquier $z$ o $s$...)

Muchas gracias !

Answer 1

Algunas cosas se puede decir acerca de esto, usted debe tomar una mirada en el libro "$\underline{\text{Enumeration of finite groups}}$" por Blackburn, Neumann y Venkataraman. En este libro, si por cualquier $n$, $\mu(n)$ denota $max(\alpha_i)$ donde :

$$n=\prod_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}$$

A continuación, tiene la siguiente cota superior probada por Laszlo Piber demostrado en 1991 :

$$\mathcal{G}(n)\leq n^{\frac{2}{27}\mu(n)^2+O(\mu(n)^{\frac{5}{3}})}$$

Ahora, si quieres hablar de convergencia de $G_1$ creo que es posible, tome $n$ e $k$ tal forma que :

$$2^k\leq n<2^{k+1}$$

De alguna manera es claro que $\mu(n)<k+1$ (de lo contrario $n$ sería divisible por $p^{k+1}\geq 2^{k+1}$), en el otro lado :

$$k\leq log_2(n)<k+1$$

Por lo tanto, tenemos que :

$$\mu(n)<log_2(n)+1$$

Ahora me gustaría encontrar una buena majoration para el límite superior. Usted tiene que :

$$(n^{\frac{2}{27}\mu(n)^2+O(\mu(n)^{\frac{5}{3}})})^{\frac{1}{(log_2(n)+1)^2}}\leq n^K$$

Por alguna constante positiva $K$. Por lo tanto :

$$\mathcal{G}(n)\leq n^{K(log_2(n)+1)^2}$$

Ahora usted tiene un criterio de convergencia de dicha serie (no recuerdo el nombre) si usted términos positivos $a_n$ para la serie a con $R$ su radio de convergencia, a continuación, si :

$$\sqrt[n]{a_n} \text{ has a limit }L$$

A continuación, $L=\frac{1}{R}$ pero si $a_n= n^{K(log_2(n)+1)^2}$, entonces :

$$\sqrt[n]{a_n}=exp(K(log_2(n)+1)^2log(n)\frac{1}{n})$$

Esto puede verse fácilmente a ser convergente a $1$ por lo tanto el radio de la serie asociada a $(n^{K(log_2(n)+1)^2})$ es$1$, y para la serie a de $G_1$ es mayor que $1$ (en comparación teorema). Por otro lado es más que claro que $\mathcal{G}(n)$ ser $\geq 1$ y, por tanto, que el radio de convergencia para $G_1$ será $\leq 1$.

Por lo tanto el radio de convergencia de $G_1$ es $1$.

Para $G_2$ creo que es la nada convergente. Voy a demostrar que no hay números reales, donde es convergente. En primer lugar, porque $\mathcal{G}(n)\geq 1$ tienes que si $G_2(s)$ convergen, a continuación,$s>1$. Ahora tome $s>0$, una cosa que usted sabe acerca de su límite inferior $\mathcal{G}(n)$ es la siguiente :

$$\mathcal{G}(p^k)\geq p^{\frac{2}{27}k^3-O(k^2)}$$

Ahora si $N>p^m$, entonces :

$$\sum_{n=1}^N\frac{\mathcal{G}(n)}{n^s}\geq \sum_{k=1}^m\frac{\mathcal{G}(p^k)}{p^{ks}} \geq \sum_{k=1}^m p^{\frac{2}{27}k^3-O(k^2)-ks}$$

Ahora $O(k^2)-ks=O(k^2)$ por lo tanto :

$$\sum_{n=1}^N\frac{\mathcal{G}(n)}{n^s}\geq\sum_{k=1}^m p^{\frac{2}{27}k^3-O(k^2)}\geq \sum_{k=1}^m p^{\frac{2}{27}k^3-C_sk^2}$$

Que se ve fácilmente a converger (al $m$ va al infinito) hasta el infinito. Por lo tanto la suma no convergen al $N$ va al infinito por lo tanto no puede haber convergencia...