Secuencia racional con $a_{n+1}=2a_n^2-1$

Question

Supongamos que empezamos con un número racional $a_0$ y definir $a_{n+1}=2a_n^2-1$ para $n\geq 0$ . Por lo que $a_0$ será el caso de que $a_i=a_j$ para algunos $i\neq j$ ?

Podemos empezar con algo como $a_0=1$ entonces $a_1=1$ así que $a_0=a_1$ .

Si $a_0=0$ obtenemos $0, -1, 1, 1, \ldots$

Asimismo, si $a_0=-1$ obtenemos $-1,1,1,\ldots$ .

Pero, ¿cómo podemos encontrar todos $a_0$ ?

Answer 1

Dejemos que $a_{0} = \cos \theta$ . Entonces es fácil comprobar que $a_{n} = \cos (2^{n}\theta)$ . Así que si $a_{i} = a_{j}$ para algunos $i \neq j$ , entonces debemos tener

\begin{align*} \cos(2^{i}\theta) = \cos(2^{j}\theta) &\quad \Longleftrightarrow \quad 2^{i}\theta = 2n\pi \pm 2^{j}\theta, \quad n \in \Bbb{Z} \\ &\quad \Longleftrightarrow \quad \theta = \frac{2n\pi}{2^{i} \pm 2^{j}}, \quad n \in \Bbb{Z} \end{align*}

Así, el problema se reduce a encontrar la condición de $(i, j, n, \pm)$ tal que

$$ \cos \left( \frac{2n\pi}{2^{i} \pm 2^{j}} \right) \in \Bbb{Q}. $$

Refiriéndose a esta publicación esto es posible si y sólo si

\begin{align*} \theta \equiv 0, \pm \frac{\pi}{3}, \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{2\pi}{3} \pmod{2\pi} \end{align*}

Esto corresponde a $a_{0} \in \{0, \pm \frac{1}{2}, \pm 1 \}$ .

Answer 2

En general

$$a_{n+1}:=2a_n^2-1=2a_m^2-1=:a_m\iff a_n=\pm a_m$$

Si elegimos $\;n\;$ para ser el índice mínimo s.t. $\;a_{n+1}=a_{m+1}\;$ para algunos $\;m\neq n\;$ Lo anterior significa que

$$a_n=-a_m\iff 2a_{n-1}^2-1=-2a_{m-1}^2+1\iff a_{n-1}^2+a_{m-1}^2=1\ldots$$

Trata de llevarlo desde aquí.