Demostrar la desigualdad $xyz \geq xy+yz+xz \implies \sqrt{x y z } \geq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

Question

Dejemos que $x,y,x>0$ y $xyz \geq xy+yz+xz.$ Demostrar que $$\sqrt{x y z } \geq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}. $$

Solución.

Utilizando la desigualdad AM GM tenemos \begin{gather*} x y+xz \geq 2 \sqrt{x y x z}=2 x \sqrt{yz},\\ xy+yz \geq 2 y \sqrt{x z},\\ x z +y z \geq 2 z \sqrt{xz}. \end{gather*} Añadir y obtener $$ xy+xz+yz \geq x \sqrt{yz}+y \sqrt{x z}+z \sqrt{xz}. $$ Por condición $$ xyz \geq x \sqrt{yz}+y \sqrt{x z}+z \sqrt{xz} $$ Dividiendo por $\sqrt{xyz}$ obtenemos la desigualdad.

Pregunta. ¿Hay otra forma de probarlo?

Answer 1

A partir de su suposición, obtenemos que \begin{align*} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \le 1. \end{align*} Desde \begin{align*} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} &=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z} +\frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)\\ &\ge\frac{1}{2}\left(\frac{2}{\sqrt{xy}} + \frac{2}{\sqrt{xz}} +\frac{2}{\sqrt{yz}} \right), \end{align*} es decir, \begin{align*} \frac{1}{\sqrt{xy}} + \frac{1}{\sqrt{xz}} +\frac{1}{\sqrt{yz}}\le 1, \end{align*} la desigualdad requerida se deduce inmediatamente al multiplicar $\sqrt{xyz}$ a ambas partes.

Answer 2

Aquí hay una prueba que evita (o disfraza) la desigualdad AM-GM.

Empecemos por establecer una desigualdad completamente diferente: Si $r,s\ge1$ entonces

$${1\over s}+r^2s+s\ge1+r+rs$$

La prueba viene de reescribirla primero en forma equivalente como

$$(r-1)rs^2+(s-1)s\ge rs-1$$

y luego dejar que $r=1+a$ y $s=1+b$ con $a,b\ge0$ :

$$a(1+a)(1+b)^2+b(1+b)\ge a+b+ab$$

donde hemos ampliado el lado derecho pero no el izquierdo. Sin embargo, como no hay signos negativos en la izquierda, es fácil ver que su expansión consiste exclusivamente en términos no negativos, incluyendo un $a$ , a $b$ y un $ab$ (de hecho un $2ab$ ), por lo que no puede ser inferior a $a+b+ab$ . Esto completa la prueba.

Ahora al problema sobre $x,y,z$ . El enunciado es simétrico en las tres variables, por lo que podemos, sin pérdida de generalidad, suponer $0\lt x\le y\le z$ . Esto nos permite escribir $x=u^2$ , $y=r^2u^2$ y $z=r^2s^2u^2$ con $u\gt0$ y $r,s\ge1$ . Entonces

$$\begin{align} xyz\ge xy+yz+zx&\implies r^4s^2u^6\ge r^2u^4+r^4s^2u^4+r^2s^2u^4\\ &\implies r^2su^3\ge{u\over s}+r^2su+su= \left({1\over s}+r^2s+s\right)u\\ &\implies r^2su^3\ge(1+r+rs)u=u+ru+rsu\\ &\implies\sqrt{xyz}\ge\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z \end{align}$$

Answer 3

Puedes utilizar esta famosa desigualdad: $$xy+yz+xz\geq \sqrt{3xyz(x+y+z)}$$ (lo que se puede demostrar fácilmente con AM-GM).

Utilizando esa desigualdad tenemos $$xyz\geq xy+yz+zx\geq \sqrt{3xyz(x+y+z)},$$ de donde es $$\sqrt{xyz}\geq \sqrt{3(x+y+z)}=\sqrt{(1+1+1)(x+y+z)}$$ Por Desigualdad de Cauchy-Schwartz tenemos $$\sqrt{(1+1+1)(x+y+z)} \geq (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$$ y finalmente podemos concluir $$\sqrt{xyz}\geq\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}.$$

Answer 4

Mi otra solución inspirada en la de Gordon.

Supongamos que $x \leq y \leq z$ Entonces $\sqrt{x} \leq \sqrt{y} \leq \sqrt{z}$ y
$$ \frac{1}{\sqrt{x}} \geq \frac{1}{\sqrt{y}} \geq \frac{1}{\sqrt{z}}. $$ Ahora por la desigualdad de reordenamiento obtenemos $$ 1 \geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq \frac{1}{\sqrt{xy}} + \frac{1}{\sqrt{xz}} +\frac{1}{\sqrt{yz}}. $$