Qué $S^\bot+T^\bot = (S\cap T)^\bot$ mantener en el infinito-dimensional espacios?

Question

Si $S$ e $T$ son subespacios de algunos finito de dimensiones interiores espacio del producto, a continuación, $$S^\bot+T^\bot = (S\cap T)^\bot.$$ Véase, por ejemplo, este post o este post

Es en el infinito-dimensional del producto interior espacios? ¿Qué acerca de los espacios de Hilbert?

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Mi intento:

He notado que $$S^\bot+T^\bot \subseteq (S\cap T)^\bot \subseteq (S^\bot+T^\bot)^{\bot\bot}$$ holds in any inner product space. So to find a counterexample, I need that $W=S^\bot+T^\bot$ fulfills $W\subsetneq W^{\bot\bot}$. A standard example I know, which fulfills this, is the set of all sequence with finite support in the inner product space $\ell_2$. However, I do not think that this space can be expressed as $S^\bot+T^\bot$ para algunos de los dos subespacios.

He intentado jugar un poco con algo similar subespacios de $\ell_2$, pero no he encontrado un contraejemplo.

Answer 1

No se sostiene en general.

Recordar dos hechos básicos: para cualquier subespacio $E$ de un espacio de Hilbert, tenemos que

1. $E^{\perp}$ es cerrado;

2. $E^{\perp\perp} = \bar{E}$, el cierre de $E$. En particular, si $E$ es cerrado, a continuación,$E^{\perp\perp}=E$.

Ahora en La suma directa de dos cerrados subespacio cerrado? (Espacio de Hilbert), usted puede encontrar un ejemplo de dos subespacios cerrados $X_1, X_2$ de un El espacio de Hilbert $H$, de tal manera que $X_1 \cap X_2 = 0$ pero $X_1 + X_2$ no es cerrado. Tomando $S = X_1^\perp$, $T = X_2^\perp$, hemos hecho 2 que $S^\perp = X_1$ e $T^\perp = X_2$. Así $S^{\asesino} + T^{\asesino} = X_1 + X_2$ is not closed. On the other hand, by fact 1 $(S \cap T)^\asesino$ is necessarily closed. In this case, since $S \cap T = 0$, tenemos $(S \cap T)^\perp = H$, que está definitivamente cerrado. Así $S^\perp + T^\perp \ne (S \cap T)^\perp$.