Me gustaría dar ejemplos de espacios topológicos tales que sus grupos fundamentales son, respectivamente, $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_{n}$ y $\mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}_{n}$ . Para esto último, pensé en lo siguiente: dejemos que $X_{n}$ sea el espacio obtenido a partir de $S^{1}$ adjuntando una célula 2 con mapa característico $\chi (z) = z^{n}$ . Este mapa identifica todos los $n$ -raíces de la unidad y, por tanto, puede describirse como un cociente de $D^{2}$ con etiquetas $a\ldots a$ ( $n$ veces). Su grupo fundamental, sin ir más lejos, es $\langle a | a^{n} \rangle$ que es $\mathbb{Z}_{n}$ (en particular, si $n=2$ , $X_{n} = P^{2}$ ). Ahora he pensado en sumar en cuña una copia de $S^{1}$ con este espacio. El espacio resultante sería, entonces, un espacio con grupo fundamental $\mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}_{n}$ por el teorema de Seifert Van Kampen. ¿Es correcto? Ahora, para la segunda parte, estoy completamente perdido. Si es posible, me gustaría evitar usar que el grupo fundamental del producto cartesiano es la suma directa de grupos fundamentales.
Respuesta
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Su construcción de un espacio con $\pi_1\cong\mathbb{Z}\ast\mathbb{Z}_n$ es buena y la forma estándar de construir un espacio de este tipo.
La forma estándar de encontrar un $X$ tal que $\pi_1(X)\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_n$ es, como has insinuado, simplemente encontrar un espacio $X_1$ con $\pi_1(X_1)\cong \mathbb{Z}$ y $X_2$ con $\pi_1(X_2)\cong \mathbb{Z}_n$ y luego utilizar el hecho de que $\pi_1(X_1\times X_2)\cong \pi_1(X_1)\times\pi_1(X_2)$ . Utilizando este enfoque, encontramos que el espacio $S^1\times (D^2\cup_{z^n}S^1)$ tiene el grupo fundamental necesario (aquí $(D^2\cup_{z^n}S^1)$ es el espacio que describe en su pregunta).
Sin embargo, podemos construir un espacio de este tipo sin recurrir al teorema anterior de los espacios producto. Obsérvese que el grupo fundamental del toroide $T^2$ es $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ generado por los bucles meridinal y longitudinal del toroide. Llamamos a estos elementos representativos $\alpha$ y $\beta$ respectivamente. Del mismo modo que pegamos un disco a un círculo para eliminar ciertos elementos del grupo fundamental, podemos hacer lo mismo aquí. Si pegamos el límite de $D^2$ a la imagen del bucle $\alpha$ a través del mapa $f\colon z\mapsto z^n$ como antes, entonces introducimos la relación $\alpha^n=0$ en el grupo fundamental, y como $\pi_1(T^2)$ es abeliano libre en los generadores $\alpha,\beta$ no hay ninguna relación introducida en el generador $\beta$ . Por lo tanto $\pi_1(T^2\cup_fD^2)\cong \mathbb{Z}_n\oplus\mathbb{Z}$ .
Esto se puede demostrar de forma más rigurosa utilizando el teorema de Van-Kampen (tome una pequeña vecindad abierta en el toro alrededor del bucle $\alpha$ unión del disco como el conjunto $U$ y el toro menos el disco (y su frontera) como el conjunto $V$ ).
