He estado atrapado en un problema de Rotman de la Introducción a la Topología Algebraica por un tiempo. Estoy haciendo los ejercicios fuera de clase ahora mismo, así que es difícil pedir ayuda. Estoy esperando que alguien aquí puede ayudar.
La pregunta es:
Deje $f,g:I \to I \times I$ ser continuo; deje $f(0)=(a,0)$ e $f(1) = (b,1)$, y deje $g(0) = (0,c)$ e $g(1)=(1,d)$ para algunos $a,b,c,d \in I$. Mostrar que $f(s)=g(t)$ para algunos $s,t \in I$; es decir, la intersección de los caminos. (Sugerencia: Utilice el Teorema de 0.3 (Brouwer del Teorema de Punto Fijo para el disco de $D^n$) para un adecuado mapa de $I \times I \to I \times I$ (No es una prueba en [Maehara]; este documento también muestra cómo derivar el Jordán curva teorema del teorema de Brouwer.)
Aquí, $I=[0,1]$. He mostrado en un problema previo si $X$ es homeomórficos a$D^n$, entonces cualquier función continua de $X$ a $X$ tiene un punto fijo, por lo que podemos utilizar este en $I \times I$. Traté de leer el periódico por Maehara (http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/jordan/maehara.pdf), pero parece que el problema en el papel es muy diferente de este problema:
En primer lugar, los dominios de sus funciones se $[-1,1]$, por lo que son capaces de definir la función de $F: [-1,1] \times [-1,1] \to [-1,1] \times [-1,1]$ en una manera de obtener una contradicción.
En segundo lugar, sus funciones $f,g$ son rutas de acceso en un rectángulo con puntos finales a,b,c,d. Los nuestros son sólo caminos en $I \times I$, por lo que se puede concluir que la diferencia en la primera coordenada de $F(-1,t_0)$ es no negativa para obtener una contradicción.
He jugado con un método similar, como en el papel mediante la definición de una $F: I \times I \to I \times I$ de manera similar, pero con valores absolutos en los numeradores de las dos coordenadas, pero no puedo conseguir una contradicción a partir de este ya que sólo tienen que la imagen de $F$ debe tener como uno de sus coordenadas el valor 1.
Cualquier ayuda se agradece mucho!
