Valor esperado del tensor de energía de estrés en 2-D CFT

Question

Debido a un anterior pregunta me confundo con el valor de expectativa del tensor de energía de estrés en una teoría de campo conformada en 2-D.

Tomemos el ejemplo de la teoría de cuerdas, para esbozar el problema. Definiendo la acción por $S = \frac {1}{2 \pi \alpha '} \int d^2z \partial X^ \mu \bar \partial X_ \mu $ el valor de la expectativa (euclidiano) de un operador es..:

$$ \langle\mathcal F[X] \rangle = \int [dX]~ exp(-S)~F[X] \tag {0}$$

Mis preguntas son..:

1) En la teoría de las cuerdas, lo que es: $$ \langle \partial X^ \mu \partial X_ \mu\rangle \tag {1}$$ 2) En la teoría de las cuerdas, lo que es: $$ \langle : \partial X^ \mu \partial X_ \mu : \rangle \tag {2}$$ 3) En una teoría general de campo conformada en 2-D, lo que es : $$ \langle T^{ \alpha \beta } \rangle \tag {3}$$

Answer 1

Primero, los dos $ \partial $ Los derivados en la acción deben ser $ \partial ^ \alpha $ y $ \partial_\alpha $ o $ \partial $ y $ \bar\partial $ .

En un CFT 2D general, el valor de expectativa de $T_{ \alpha\beta }$ - Tenga en cuenta que debe haber confundido la hoja del mundo con los índices del espacio tiempo; el tensor de energía de tensión sólo tiene índices de la hoja del mundo - es por supuesto cero. El tensor de energía de esfuerzo es un tensor cuya dimensión es distinta de cero, de modo que cualquier valor de expectativa distinto de cero en el vacío sería dimensional y definiría una escala de longitud preferida, y por lo tanto violaría la simetría de escala (y de conformidad).

El rastro del tensor de energía de estrés, $T_{ \alpha }^ \alpha $ es cero incluso como operador debido a la simetría de la escala (es el generador de la simetría de la escala). Así que todos los correladores, incluyendo este rastro del tensor como factor, se desvanecerán. Esto no es cierto para los dos componentes restantes del tensor, $T_{zz}$ y $T_{ \bar z \bar z}$ . Sus valores de expectativa se desvanecen, pero los correladores más complicados de estos componentes con otros tensores no se desvanecen.

Los argumentos anteriores eran generales, para cualquier CFT. También puedes ver cómo funciona "constructivamente" para el simple $X$ CFT de bosón libre. El tensor de energía de estrés es una expresión normalmente ordenada que contiene $ \partial X \partial X$ términos contraídos de dos maneras, ver 2.3.15b o 2.4.4 en Polchinski I.

La parte normalmente ordenada de $ \partial X \partial X$ se define como $ \partial X \partial X$ menos lo que necesites restar para eliminar la $c$ -número de parte, véase la ecuación 2.2.4 para la fórmula de ordenamiento normal en el $X$ bosón libre 2D CFT. El primer término en el lado derecho - que se convierte en $1/(z \bar z)$ veces el mismo factor numérico si se suman los dos derivados de la hoja mundial - es exactamente el valor de expectativa (no cero) de $X X$ o $ \partial X \partial X$ (dependiendo de si se diferencia dos veces). Los valores de expectativa de la normalidad ordenada $: \partial X \partial X:$ las expresiones se desvanecen prácticamente por construcción, y esos son los operadores que aparecen en el tensor de energía de estrés cuyo valor de expectativa también se desvanece.

El orden normal de los operadores que dependen de $z, \bar z$ puede sonar desconocido pero es realmente isomorfo para los "cursos de pregrado de QFT" el ordenamiento normal que pone a los operadores de creación a la izquierda de los operadores de aniquilación. Cuando lo haces, está garantizado que los operadores de aniquilación de la derecha aniquilan el vacío del ket o, por ejemplo, si no hay ninguno, los operadores de creación de la izquierda aniquilan el vacío del sostén. Así que el valor de expectativa de cualquier polinomio de orden normal de los operadores en las teorías de campo libre, excepto $: \langle 1 \rangle :=1$ se desvanece. (Bueno, a veces para los modos cero, como los de la $bc$ fantasmas, se definen de una manera más simétrica para que el orden normal de $b_0 c_0$ y su pedido normal puede merecer un tratamiento especial. Pero no surgen sutilezas para $X$ CFT a menos que considere cosas como $:X_0 P_0:$ para los modos cero).